Propriedade da convolução

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

5.6 Propriedade da convolução

Dada duas funções contínuas por partes em $[0, \infty]$ , a convolução de $f$ e $g$ denotada por $f * g$ é deﬁnida pela integral

(f * g) (t) = \int_{0}^{t} f (τ) g (t - τ) d τ .

(5.54)

Exemplo 5.6.1. Dadas $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \cos (t)$ , vamos calcular $f * g$ : $\begin{array}{rcl} (f * g) (t) & = & \int_{0}^{t} e^{τ} \cos (t - τ) d τ \\ = & {\frac{1}{2} e^{τ} (\cos (t - τ) - sen (t - τ))|}_{0}^{t} \\ = & \frac{1}{2} (e^{t} - \cos (t) + sen (t)) . \end{array}$

onde usamos que $\int e^{τ} \cos (t - τ) d τ = \frac{1}{2} e^{τ} (\cos (t - τ) - sen (t - τ)) +$ constante.

Teorema 5.6.1. (Propriedade da convolução) Se $F (s) = L {f (t)}$ e $G (s) = L {g (t)}$ , então

L {(f * g) (t)} = F (s) G (s) .

(5.55)

L^{- 1} {F (s) G (s)} = (f * g) (t) .

(5.56)

Demonstração.Partimos da deﬁnição das transformadas:

F (s) = L {f (t)} = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

(5.57)

G (s) = L {g (τ)} = \int_{0}^{\infty} g (τ) e^{- s τ} d τ .

(5.58)

Logo, $\begin{array}{rcl} F (s) G (s) & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \int_{0}^{\infty} g (τ) e^{- s τ} d τ \\ = & \int_{0}^{\infty} f (t) \int_{0}^{\infty} g (τ) e^{- s (t + τ)} d τ d t \end{array}$

Mantemos $t$ ﬁxo e fazemos a mudança de variável $v = t + τ$ para obter: $\begin{array}{rcl} F (s) G (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) \int_{t}^{\infty} g (v - t) e^{- s v} d v d t \end{array}$

Agora, vamos mudar a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro quadrante: em vez de variar $v$ em $[t, \infty]$ depois $t$ em $[0, \infty]$ , primeiro vamos variar $t$ em $[0, v]$ , depois $v$ em $[0, \infty]$ , ou seja, $\begin{array}{rcl} F (s) G (s) & = & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{v} f (t) g (v - t) e^{- s v} d t d v \\ = & \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{v} f (t) g (v - t) d t) e^{- s v} d v \\ = & \int_{0}^{\infty} (f * g) e^{- s v} d v \\ = & L {f * g} \end{array}$

$■$

Exemplo 5.6.2. Vamos calcular a transformada inversa de $\frac{s}{(s - 1) (s^{2} + 1)}$ . Primeiro observamos que a expressão pode ser escrita como um produto de duas funções tabelas:

\frac{s}{(s - 1) (s^{2} + 1)} = \frac{1}{s - 1} \frac{s}{s^{2} + 1},

(5.59)

onde $L^{- 1} \{\frac{1}{s - 1}\} = e^{t}$ e $L^{- 1} \{\frac{s}{s^{2} + 1}\} = \cos (t)$ . Usando a propriedade 5.6.1 da convolução, temos

L^{- 1} \{\frac{1}{s - 1} \frac{s}{s^{2} + 1}\} = \int_{0}^{t} e^{τ} \cos (t - τ) d τ .

(5.60)

A convolução acima foi calculada no exemplo 5.6.1, logo

L^{- 1} \{\frac{1}{s - 1} \frac{s}{s^{2} + 1}\} = \frac{1}{2} (e^{t} - \cos (t) + sen (t)) .

(5.61)

A propriedade 5.6.1 da convolução pode ser útil para resolver equações integrais, como veremos no próximo exemplo.

Exemplo 5.6.3. Vamos resolver a seguinte equação integral:

y (t) = 4 + 9 \int_{0}^{t} y (τ) (t - τ) d τ .

(5.62)

Aplicamos a transformada de Laplace e usamos a propriedade 5.6.1 da convolução com $f (t) = y (t)$ e $g (t) = t$ para obter:

L {y (t)} = \frac{4}{s} + 9 L {y (t)} L {t}

(5.63)

ou seja,

Y (s) = \frac{4}{s} + 9 Y (s) \frac{1}{s^{2}} .

(5.64)

Logo,

Y (s) = \frac{s^{2}}{s^{2} - 9} \frac{4}{s} = \frac{4 s}{s^{2} - 9} .

(5.65)

Portanto,

y (t) = 4 \cosh (3 t)

(5.66)

Exercícios

E 5.6.1. Encontre por integração:

$1 * 1$
$t * e^{t}$
$1 * \cos (ω t)$
$e^{k t} * e^{- k t}$

Resposta.

$t$
$e^{t} - t - 1$
$\frac{1}{ω} sen (ω t)$
$\frac{1}{2 k} (e^{k t} - e^{- k t}) = \frac{1}{k} senh (k t)$

E 5.6.2. Justiﬁque as seguintes propriedades da operação de convolução:

$f * g = g * f$
$(f * g) * h = f * (g * h)$
$f * (g + h) = f * g + f * h$
$(δ * f) (t) = f (t)$

[Dica: cuidado para não confundir as variáveis de integração que aparecerão no item (b).]

Resposta.

$\begin{array}{rcl} f * g & = & \int_{0}^{t} f (τ) g (t - τ) d τ \\ = & - \int_{t}^{0} f (t - u) g (u) d u \\ = & \int_{0}^{t} g (u) f (t - u) d u \\ = & g * f \end{array}$
$\begin{array}{rcl} (f * g) * h & = & \int_{0}^{t} (\int_{0}^{τ} f (u) g (τ - u) d u) h (t - τ) d τ \\ = & \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} f (u) g (τ - u) h (t - τ) d u d τ \\ = & \int_{0}^{t} \int_{u}^{t} f (u) g (τ - u) h (t - τ) d τ d u \\ = & \int_{0}^{t} f (u) \int_{u}^{t} g (τ - u) h (t - τ) d τ d u \\ = & \int_{0}^{t} f (u) \int_{0}^{t - u} g (v) h (t - u - v) d v d u \\ = & \int_{0}^{t} f (u) [(g * h) (t - u)] d u \\ = & f * (g * h) \end{array}$
onde se fez a mudança $v = τ - u$ , $d v = d τ$ .