Propriedades do Valor Inicial e Final

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

6.7 Propriedades do Valor Inicial e Final

Teorema 6.7.1. (Propriedade do Valor Final) Se $F (s)$ é a transformada de Laplace de $f (t)$ e

\lim_{t \to \infty} f (t) = L,

(6.76)

então

\lim_{s \to 0^{+}} s F (s) = L .

(6.77)

Demonstração.Usamos a deﬁnição de transformada de Laplace para escrever

\begin{array}{rcl} s F (s) & = & s \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = & s \int_{0}^{a} f (t) e^{- s t} d t + s \int_{a}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t . \end{array}

Observe que a primeira parcela do lado direito tende a zero independentemente do valor de $a$ . Porém, para $a$ suﬁcientemente grande, $f (t)$ se aproxima de $L$ , pois $\lim_{t \to \infty} f (t) = L$ , ou seja, $\begin{array}{rcl} s \int_{a}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t & \approx & s \int_{a}^{\infty} L e^{- s t} d t . \\ \approx & s \frac{L}{- s} {[e^{- s t}]}_{a}^{\infty} = L e^{- a s} \end{array}$

Como $e^{- a s} \to 1$ quando $s \to 0$ , então

\lim_{s \to 0^{+}} s F (s) = L .

(6.78)

$■$

Teorema 6.7.2. (Propriedade do Valor Inicial) Se $F (s)$ é a transformada de Laplace de uma função $f (t)$ de ordem exponencial $c$ e

\lim_{t \to 0^{+}} f (t) = L,

(6.79)

então

\lim_{s \to \infty} s F (s) = L .

(6.80)

Demonstração.Usamos a deﬁnição de transformada de Laplace para escrever

\begin{array}{rcl} s F (s) & = & s \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = & s \int_{0}^{a} f (t) e^{- s t} d t + s \int_{a}^{b} f (t) e^{- s t} d t + s \int_{b}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t . \end{array}

Observe que a segunda parcela do lado direito tende a zero quando $s \to \infty$ independentemente do valor de $a$ e $b$ , pois o fato da função ser de ordem exponencial e contínua por partes implica em $f (t)$ limitada em $[a, b]$ , ou seja, $| f (t) | < M$ e, portanto, $\begin{array}{rcl} |s \int_{a}^{b} f (t) e^{- s t} d t| & \leq & s \int_{a}^{b} | f (t) | e^{- s t} d t \\ \leq & M s \int_{a}^{b} e^{- s t} d t \\ \leq & {M s \frac{1}{- s} e^{- s t}|}_{a}^{b} = M (e^{- s a} - e^{- s b}) . \end{array}$

Também, a terceira parcela tende a zero se $b$ for suﬁcientemente grande, pois existem $c$ e $M > 0$ tal que $| f (t) | < M e^{c t}$ para $t > b$ e, portanto, $\begin{array}{rcl} |s \int_{b}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t| & \leq & s \int_{b}^{\infty} | f (t) | e^{- s t} d t \\ \leq & s \int_{b}^{\infty} M e^{- (s - c) t} d t \\ \leq & {M s \frac{1}{c - s} e^{- (s - c) t}|}_{b}^{\infty} = \frac{M s}{s - c} (e^{- (s - c) b}) . \end{array}$

Porém, para $a$ suﬁcientemente pequeno, $f (t)$ se aproxima de $L$ , pois $\lim_{t \to 0} f (t) = L$ , ou seja, $\begin{array}{rcl} s \int_{0}^{a} f (t) e^{- s t} d t & \approx & s \int_{0}^{a} L e^{- s t} d t . \\ \approx & s \frac{L}{- s} {[e^{- s t}]}_{0}^{a} = L (1 - e^{- a s}) \end{array}$

Como $e^{- a s} \to 0$ quando $s \to \infty$ , então

\lim_{s \to \infty} s F (s) = L .

(6.81)

$■$

Exercícios

E 6.7.1. Supondo a existência do limite calcule $\lim_{t \to 0 +} f (t)$ e $\lim_{t \to + \infty} f (t)$ das seguintes funções:

$F (s) = \frac{s + 10}{{(s + 1)}^{2} + 4}$ .
$F (s) = \frac{s + 10}{{(s + 1)}^{2} + 4} e^{- s}$ .

Resposta.

$\lim_{t \to 0 +} f (t) = 1$ e $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 0$ .
$\lim_{t \to 0 +} f (t) = 0$ e $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 0$ .

E 6.7.2. Veriﬁque para $F (s) = \frac{s + 10}{s^{2} + 4}$ que o limite $\lim_{s \to 0 +} s F (s)$ existe mesmo quando $\lim_{t \to + \infty} f (t)$ não existe.

E 6.7.3. Seja $f (t)$ uma função periódica de período $T$ , cuja transformada é dada por: $F (s) = \frac{1}{1 - e^{- s T}} \int_{0}^{T} f (t) e^{- s t} d t .$

Mostre que: $\lim_{s \to 0 +} s F (s) = μ,$

onde $μ$ é o valor médio de $f (t)$ , dado por: $μ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t .$

Resposta.Basta escrever o limite como:

\lim_{s \to 0 +} s F (s) = (\lim_{s \to 0 +} \frac{1}{1 - e^{- s T}}) (\lim_{s \to 0 +} \int_{0}^{T} f (t) e^{- s t} d t) .

E 6.7.4. Na Seção 5.4, trabalhamos com a função $c (t) = c_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- \frac{t - n T}{τ}} u (t - n T),$

cuja transformada de Laplace é dada por:

C (s) = (\frac{c_{0}}{s + \frac{1}{τ}}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(e^{- s T})}^{n} = (\frac{c_{0}}{s + \frac{1}{τ}}) \frac{1}{1 - e^{- s T}}

e cujo valor médio da solução assintótica foi calculado no Exercício Resolvido 5.4.2 e é dado por: $μ : = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [\lim_{k \to + \infty} c (a + k T)] d a = \frac{c_{0} τ}{T} .$

Mostre que $\lim_{s \to 0 +} s F (s) = μ$ .

Resposta.Basta simpliﬁcar e aplicar o teorema de L’Hôpital:

\begin{array}{rcl} \lim_{s \to 0 +} s F (s) & = & \lim_{s \to 0 +} (\frac{c_{0}}{s + \frac{1}{τ}} \cdot \frac{s}{1 - e^{- s T}}) \\ = & c_{0} τ \lim_{s \to 0 +} (\frac{s}{1 - e^{- s T}}) \\ = & c_{0} τ \lim_{s \to 0 +} (\frac{1}{T e^{- s T}}) = \frac{c_{0} τ}{T} = μ \end{array}

E 6.7.5. Encontre a transformada inversa das funções abaixo utlizando o método que achar adequado.

$F (s) = \frac{3 s + 7}{s^{2} - 2 s - 3}$ .
$F (s) = \frac{1}{{(s - 2)}^{3}}$ .
$F (s) = \frac{3 s + 1}{(s - 1) (s^{2} + 1)}$ .
$F (s) = \frac{s + 12}{s^{2} + 4 s}$ .
$F (s) = \frac{s - 3}{s^{2} - 1}$ .
$F (s) = \frac{3 s}{s^{2} + 2 s - 8}$ .
$F (s) = \frac{3 s^{2} - 2 s - 1}{(s - 3) (s^{2} + 1)}$ .
$F (s) = \frac{s + 1}{s^{2} + 4 s + 13}$ .
$F (s) = \frac{s^{2} + s - 2}{{(s + 1)}^{3}}$ .
$F (s) = \frac{2 s^{3} + 10 s^{2} + 8 s + 40}{s^{2} (s^{2} + 9)}$ .
$F (s) = \frac{2 s^{2} - 4}{(s + 1) (s - 2) (s - 3)}$ .
$F (s) = \frac{1}{(s^{2} + 4) (s^{2} + 1)}$ .

Resposta.

$f (t) = 4 e^{3 t} - e^{- t}$
$f (t) = \frac{1}{2} t^{2} e^{2 t}$
$f (t) = 2 e^{t} - 2 \cos t + sen t$
$f (t) = 3 - 2 e^{- 4 t}$
$f (t) = \cosh t - 3 senh t$
$f (t) = 2 e^{- 4 t} + e^{2 t}$
$f (t) = 2 e^{3 t} + \cos t + sen t$
$f (t) = e^{- 2 t} [\cos (3 t) - \frac{1}{3} sen (3 t)]$
$f (t) = e^{- t} (1 - t - t^{2})$
$f (t) = 2 \cos (3 t) + \frac{10}{3} sen (3 t) + \frac{8}{9} [1 - \cos (3 t)] + \frac{40}{27} [3 t - sen (3 t)]$
$f (t) = - \frac{1}{6} e^{- t} - \frac{4}{3} e^{2 t} + \frac{7}{2} e^{3 t}$
$f (t) = \frac{1}{3} [sen t - \frac{1}{2} sen (2 t)]$

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