Propriedade da integral da transformada de Laplace

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

6.6 Propriedade da integral da transformada de Laplace

Teorema 6.6.1. (Propriedade da integral da transformada) Se $F (s)$ é a transformada de Laplace de $f (t)$ e a função e o limite

\lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{f (τ)}{τ} d τ

(6.65)

existe, então

\int_{s}^{\infty} F (v) d v = L \{\frac{f (t)}{t}\} .

(6.66)

Demonstração. Usamos a deﬁnição de transformada de Laplace para escrever

\begin{array}{rcl} \int_{s}^{\infty} F (v) d v & = & \int_{s}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} f (t) e^{- v t} d t) d v \\ = & \int_{0}^{\infty} f (t) (\int_{s}^{\infty} e^{- v t} d v) d t \\ = & \int_{0}^{\infty} f (t) {[\frac{e^{- v t}}{- t}]}_{s}^{\infty} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{f (t)}{t} e^{- s t} d t \\ = & L \{\frac{f (t)}{t}\} . \end{array}

Observe que a existência do limite $\lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{f (τ)}{τ} d τ$ é fundamental para a existência da Transformada de Laplace e para os procedimentos analíticos acima.

$■$

Exemplo 6.6.1. Vamos mostrar o item 29 da tabela A.2:

L \{\frac{1}{2 \sqrt{π t^{3}}} (e^{b t} - e^{a t})\} = \sqrt{s - a} - \sqrt{s - b} .

(6.67)

Para isso vamos usar o item 4, a saber,

L \{\frac{1}{\sqrt{π t}}\} = \frac{1}{\sqrt{s}} .

(6.68)

Aplicamos a propriedade 4.1.1 da translação no eixo $s$ na equação (6.68) para obter:

L \{\frac{1}{\sqrt{π t}} e^{a t}\} = \frac{1}{\sqrt{s - a}} .

Finalmente, usando a propriedade 6.6.1 da integral da transformada, obtemos: $\begin{array}{rcl} L \{\frac{1}{2 \sqrt{π t^{3}}} (e^{b t} - e^{a t})\} & = & \frac{1}{2} L \{\frac{1}{t} (\frac{1}{\sqrt{π t}} e^{b t} - \frac{1}{\sqrt{π t}} e^{a t})\} \\ = & \frac{1}{2} \int_{s}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{v - b}} - \frac{1}{\sqrt{v - a}}) d v \\ = & \frac{1}{2} \int_{s}^{\infty} ({(v - b)}^{- \frac{1}{2}} - {(v - a)}^{- \frac{1}{2}}) d v \\ = & {- {(v - b)}^{\frac{1}{2}} + {(v - a)}^{\frac{1}{2}}|}_{s}^{\infty} \\ = & \sqrt{s - a} - \sqrt{s - b} . \end{array}$

Observe que aqui usamos o seguinte limite no inﬁnito $\begin{array}{rcl} \lim_{v \to \infty} (\sqrt{v - b} - \sqrt{v - a}) & = & \lim_{v \to \infty} \frac{(\sqrt{v - b} - \sqrt{v - a}) (\sqrt{v - b} + \sqrt{v - a})}{(\sqrt{v - b} + \sqrt{v - a})} \\ = & \lim_{v \to \infty} \frac{((v - b) - (v - a))}{(\sqrt{v - b} + \sqrt{v - a})} \\ = & \lim_{v \to \infty} \frac{(a - b)}{(\sqrt{v - b} + \sqrt{v - a})} \\ = & 0 . \end{array}$

Exemplo 6.6.2. Vamos mostrar o item 39 da tabela A.2:

L \{\frac{1}{t} (e^{b t} - e^{a t})\} = \ln (\frac{s - a}{s - b}) .

(6.69)

Para isso vamos usar o item 7, a saber,

L \{e^{a t}\} = \frac{1}{s - a} .

Usando a propriedade 6.6.1 da integral da transformada, obtemos: $\begin{array}{rcl} L \{\frac{1}{t} (e^{b t} - e^{a t})\} & = & \int_{s}^{\infty} (\frac{1}{v - b} - \frac{1}{v - a}) d v \\ = & {(\ln (v - b) - \ln (v - a))|}_{s}^{\infty} \\ = & (\ln (s - a) - \ln (s - b)) \\ = & \ln (\frac{s - a}{s - b}) \end{array}$

Na penúltima igualdade usamos o seguinte limite no inﬁnito: $\begin{array}{rcl} \lim_{v \to \infty} (\ln (v - b) - \ln (v - a)) & = & \lim_{v \to \infty} \ln (\frac{v - b}{v - a}) \\ = & \ln (\lim_{v \to \infty} (\frac{v - b}{v - a})) \\ = & \ln (1) \\ = & 0 . \end{array}$

Observe que a troca do limite com o logarítmo é possível visto que $\ln (x)$ é contínua para $x > 0$ .

Exemplo 6.6.3. Vamos mostrar o item 40 da tabela A.2:

L \{\frac{2}{t} (1 - \cos (w t))\} = \ln (\frac{s^{2} + w^{2}}{s^{2}}) .

(6.70)

Para isso vamos usamos o fato que

L (1 - \cos (w t)) = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^{2} + w^{2}} .

Usando a propriedade 6.6.1 da integral da transformada, obtemos: $\begin{array}{rcl} L \{\frac{2}{t} (1 - \cos (w t))\} & = & 2 \int_{s}^{\infty} (\frac{1}{v} - \frac{v}{v^{2} + w^{2}}) d v \\ = & {2 (\ln (v) - \frac{1}{2} \ln (v^{2} + w^{2}))|}_{s}^{\infty} \\ = & {(2 \ln (v) - \ln (v^{2} + w^{2}))|}_{s}^{\infty} \\ = & {\ln (\frac{v^{2}}{v^{2} + w^{2}})|}_{s}^{\infty} \\ = & - \ln (\frac{s^{2}}{s^{2} + w^{2}}) \\ = & \ln (\frac{s^{2} + w^{2}}{s^{2}}) \end{array}$

Na penúltima igualdade usamos o seguinte limite no inﬁnito: $\begin{array}{rcl} \lim_{v \to \infty} \ln (\frac{v^{2}}{v^{2} + w^{2}}) & = & \ln (\lim_{v \to \infty} (\frac{v^{2}}{v^{2} + w^{2}})) \\ = & \ln (1) \\ = & 0 . \end{array}$

Observe que a troca do limite com o logarítmo é possível visto que $\ln (x)$ é contínua para $x > 0$ .

Exemplo 6.6.4. Vamos demonstrar o item 42 da tabela A.2:

L \{\frac{1}{t} sen (w t)\} = \arctan (\frac{w}{s}) .

(6.71)

Para isso vamos usamos o fato que

L {sen (w t)} = \frac{w}{s^{2} + w^{2}} .

Usando a propriedade 6.6.1 da integral da transformada, obtemos: $\begin{array}{rcl} L \{\frac{1}{t} sen (w t)\} & = & \int_{s}^{\infty} (\frac{w}{v^{2} + w^{2}}) d v \\ = & {\arctan (\frac{v}{w})|}_{s}^{\infty} \\ = & \lim_{v \to \infty} \arctan (\frac{v}{w}) - \arctan (\frac{s}{w}) \\ = & \frac{π}{2} - \arctan (\frac{s}{w}) \end{array}$

Usando o fato que $\tan (\frac{π}{2} - 𝜃) = \cot (𝜃)$ , temos que $\begin{array}{rcl} L \{\frac{1}{t} sen (w t)\} = \cot^{- 1} (\frac{s}{w}) . \end{array}$

Também, se $γ = \cot^{- 1} (\frac{s}{w})$ , então $\cot γ = \frac{s}{w}$ . Logo, $\frac{1}{\tan γ} = \frac{s}{w}$ e, portanto, $\tan γ = \frac{w}{s}$ . Assim, podemos escrever a transformada de Laplace da seguinte forma: $\begin{array}{rcl} L \{\frac{1}{t} sen (w t)\} = \arctan (\frac{w}{s}) \end{array}$

Exemplo 6.6.5. Vamos agora mostrar o item 43 da tabela A.2:

L \{S i (t)\} = \frac{1}{s} \cot^{- 1} (s),

(6.72)

onde $S i (t)$ é função integral seno dada por:

S i (t) = \int_{0}^{t} \frac{sen (x)}{x} d x .

(6.73)

Primeiro aplicamos a propriedade 4.5.1 para obter

L \{S i (t)\} = L \{\int_{0}^{t} \frac{sen (x)}{x} d x\} = \frac{1}{s} L \{\frac{sen (t)}{t}\} .

(6.74)

Em seguida usamos o resultado do exemplo 6.6.4 (ou item 42 da tabela A.2) e temos:

L \{S i (t)\} = \frac{1}{s} \arctan (\frac{1}{s}) = \frac{1}{s} \cot^{- 1} (s) .

(6.75)

Exercícios

E 6.6.1. Demonstre o item 41 da tabela usando os itens 1 e 16 juntamente com a propriedade 6.6.1.

E 6.6.2. Utilize a integral da transformada de Laplace para demonstrar que:

$L \{\frac{senh t}{t} \} = \frac{1}{2} \ln (\frac{s + 1}{s - 1})$
$L \{\frac{2}{t} (1 - \cos (ω t)) \} = \ln (\frac{s^{2} + ω^{2}}{s^{2}})$
$L \{\frac{2}{t} (1 - \cosh (ω t)) \} = \ln (\frac{s^{2} - ω^{2}}{s^{2}})$

Resposta.

$\frac{3 - 3 e^{- 2 s} - 6 s e^{- 4 s}}{s^{2} (1 - e^{- 4 s})}$
$\frac{e^{2 π (1 - s)} - 1}{(1 - s) (1 - e^{- 2 π s})}$
$\frac{ω}{s^{2} + ω^{2}} \coth (\frac{π s}{2 ω^{2}})$

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