Pythagoras Cup

1 de setembro de 2019 by Gabriel Cury Perrone

O copo de Pitágoras é uma demonstração clássica de hidrodinâmica baseada no princípio do sifão. Este instrumento parece apenas uma taça comum, mas quando enchemos a taça todo o líquido se esvai.

Perceba que dentro da taça há um tubo que inicia na parte baixa do reservatório e sobe, para então fazer uma curva e descer até o pé da taça. O copo pode ser usado normalmente, desde que o líquido não alcance a curva do tubo, momento no qual o copo esvazia pelo tubo.

O funcionamento do instrumento é bastante simples. Enquanto enchemos o copo, o líquido vai se acumulando e subindo tanto no reservatório quanto no tubo, pelo princípio de Pascal dos vasos comunicantes. Quando o líquido atinge a curva do tubo, a ação da gravidade sobre o líquido faz com que este seja expelido pelo orifício no fundo do copo.

Este mesmo princípio é utilizado ainda hoje em vasos sanitários e pias, para impedir a passagem de cheiro, e muitos outros equipamentos. Entender funcionamento do sifão é extremamente importante para dominar as tecnologias de hidráulica e transporte de líquidos.

Sobre o funcionamento do sifão

Para entender o funcionamento de um sifão é importante estudar um pouco sobre hidrodinâmica, mais especificamente o princípio (ou teorema) de Bernoulli. Este princípio descreve o comportamento de um fluido em movimento e pode ser deduzido a partir da conservação de duas grandezas: massa e energia.

Considerando um fluido incompressível e sem atrito, o seu movimento é descrito pela equação de Bernoulli, dada por: $\frac{v^{2}}{2}+\frac{P_{atm}}{\rho}+gh=C$ , onde $v$ é a velocidade de escoamento do fluido, $P$ é a pressão atmosférica, $\rho$ é a densidade do fluido, $g$ é a aceleração da gravidade, $h$ é a altura da coluna de líquido e $C$ uma constante. O primeiro termo da equação se refere à energia cinética, o segundo à pressão e o terceiro à energia podencial gravitacional.

Aplicando esta equação para um sifão podemos considerar uma linha de fluxo que parte da superfície do reservatório e vai até o orifício no final do sifão. Para esta linha de fluxo, o valor $C$ é constante e podemos igualar as equações nos diversos pontos de interesse e obter os valores de velocidade para o escoamento, assim como observar os limites para os quais o escoamento acontece.

Brincando com as equações e considerando a aproximação de que o reservatório seja muito grande, obtemos os seguintes resultados interessantes:

$v=\sqrt{2gh_{f}}$ demonstra que a velocidade de escoamento depende apenas da aceleração da gravidade e da diferença de altura entre o nível do reservatório e a saída do tubo do sifão.
$v_{max}=\sqrt{2\left ( \frac{P_{atm}}{\rho}-gh_{t} \right )}$ mostra que a velocidade máxima de escoamento depende da pressão atmosférica, da densidade do líquido, da aceleração da gravidade e da diferença de altura entre o nível do reservatório e o ponto mais alto do tubo do sifão.
A profundidade da entrada do tubo do sifão não faz diferença para os resultados da dinâmica. É claro que isso só se aplica no caso ideal em que estamos tratando, mas é uma boa aproximação para o que acontece na realidade.