22 de January de 2019

Disciplinas do Programa

Obrigatórias:

Probabilidade

1. Espaços de probabilidades.
2. Variáveis e vetores aleatórios.
3. Esperança matemática.
4. Distribuição e esperança condicionais.
5. Função geradora de momento e características.
6. Tipos de convergência.
7. Leis dos grandes números.
8. Teorema central do limite.

 

Modelagem Estatística

Modelos de Regressão com estruturas diversas. Modelagem não linear. Modelos para respostas
contínuas, binárias, politômicas, de contagem. Modelos para Dados longitudinais.
1. Modelos Lineares Generalizados abordando diversas estruturas de Regressão, tais como
Regressão Não-linear, Regressão Poisson, Regressão logística, Regressão por Componente
Principais.
2. Modelos Mistos para Dados Longitudinais. Modelos para Medidas Repetidas. Equações de
Estimação Generalizadas.

 

Inferência

Fundamentos de estatística:
Revisão de populações e amostras.
1. Características básicas de modelos paramétricos, semiparamétricos e não paramétricos.
2. Família exponencial uniparamétrica e multiparamétrica: propriedades, construção,
3. Estatísticas suficientes, teorema da fatoração, estimação de Bayes e completas.
4. Propriedade de estimadores: consistência, vicio, variância e eficiência. Vício e variância
assintótica.
Teoria de estimação pontual:
5. Estimadores não-viciados de mínima variância. Desigualdade de Crámer-Rao.
6. Método dos momentos, Estimação de mínimo contraste, maxima verossimilhança e máximo a
posteriori, estimadores plug-in. Delta method. U-statistics
Teste de Hipóteses:
7. Teoria de Neyman-Pearson para Testes de Hipótese: noções fundamentais, lema de
Neyman-Pearson, famílias com razão de verossimilhança monótona. Testes Bayes factor.
Estimação por intervalos:
8. Intervalos de confiança. Intervalos de Credibilidade.

 

Estatística Computacional

Técnicas de estatística computacional. Otimização numérica e integração para problemas
estatísticos. Simulação e métodos de Monte Carlo. Markov Chain Monte Carlo. Bootstrap.
Smoothing/ estimação de densidades.

1. Otmização numérica: Métodos numéricos para estimação de máxima verossimilhança e
máximo a posteriori. Otimização numérica univariada/multivariada, com restrições (igualdade
desigualdade). Convexidade. Método de Newton, Expectation-Maximization (EM), Critérios de
convergência.
2. Geração de variáveis aleatórias: gerador de números aleatórios, geração de variáveis
aleatórias contínuas e discretas, método da transformada inversa, métodos acceptancerejection,
simulação de cadeias de Markov.
3. Integração de Monte Carlo: Formulação geral, técnicas de redução da variância, importance
sampling
4. Bootstrap: Estimadores plug-in, bootstrap paramétrico e não paramétrico, estimadores
bootstrap para erro padrão e intervalos de confiança.
5. Estimação da função densidade: Problemas unidimensionais, suavização por kernel.
6. Markov chain Monte Carlo (MCMC): Formulação geral, Metropolis-Hastings, Gibbs sampler,
critérios de convergência

 

Eletivas:

Tópicos

Disciplina livre de ementa variável. Visa acomodar várias situações como cursos específicos de
professores visitantes, bem como tópicos específicos relacionados à pesquisa a ser trabalhada
na dissertação.

 

Séries Temporais

1. Processos ARMA.
2. Estimação de máxima verossimilhança.
3. Teoria assintótica.
4. Introdução à longa dependência
5. Séries temporais multivariadas.
6. Análise espectral;
7. Modelos de heterocedasticidade conditional: univariados e multivariados.
8. Modelos não-lineares de séries temporais.
9. Modelos VAR.
10. Raízes unitárias e cointegração.

 

Seminários

A Disciplina de Seminários tem por objetivo a complementação da formação do aluno a partir da
participação deste nos seminários de pesquisa e divulgação promovidos pelo programa. Os
seminários cobrem diversos assuntos relacionados à pesquisa e divulgação na área de
estatística. Do aluno é esperada a participação ativa nos seminários, seja na qualidade de
espectador quanto de apresentador.

 

Processos Estocásticos

Cadeias de Markov a tempo discreto
1. Probabilidades de transição
2. Classificação de estados
3. Distribuições estacionárias
4. Distribuições limite
5. Teorema Ergódico

6. Passeio aleatório
7. Exemplos
Cadeias de Markov a tempo contínuo
8. Teorema de Existência de Kolmogorov
9. Propriedade de Markov
10. Probabilidades de transição
11. Cadeia de saltos e tempos de permanência
12. Processo de Poisson
13. Processos de nascimento e morte
14. Branching Processes
Tópicos Especiais
15. Brownian Motion
16. Brownian Bridge
17. Empirical Processes

 

Estatística Multivariada

Distribuição Normal Multivariada. Inferência estatística em vetores de variáveis aleatórias.
Principais técnicas Multivariadas: Análise de Componentes Principais, Análise Fatorial,
Técnicas de Agrupamento, Análise de Correlação Canônica, Análise Discriminante. Regressão
Multivariada. Aprendizado de Máquina (SVM). Redes neurais.
1. Distribuição Normal Multivariada. Inferência estatística para várias variáveis. Testes de
Hipóteses para vetor de Médias e para a Matriz de Covariâncias. Análise de Variância
Multivariada.
2. Análise de Componentes Principais e Análise Fatorial. Objetivos, base teórica e relação
entre os dois modelos.
3. Técnicas de Agrupamento (métodos hierárquicos e não hierárquicos). Análise de Correlação
Canônica e Análise Discriminante. Objetivos e base teórica.
4. Análise de Regressão Multivariada. Objetivos e base teórica. Aplicação em bancos de dados
e interpretação dos resultados. Regressão por Mínimos Quadrados Parciais.
5. Máquina de Vetor de Suporte (SVM). Redes Neurais (RN): Principais arquiteturas e métodos
de treinamento. Análise Multivariada via SVM e RN.

 

Estatística Bayesiana

1. Introdução ao pensamento Bayesiano. Porque utilizar métodos Bayesianos?
2. Familia Exponencial, modelos conjugados. Independência condicional, permutabilidade.
3. Modelos Uniparamétricos: normal-normal, binomial-beta, Poisson-gama.
4. Distribuições a priori: Informativa vs. não informativa, própria vs. Imprópria, Jefreys
5. Modelo Normal: Univariado e Multivariado. Regressão linear
6. Intervalos de credibilidade, Testes de hipóteses, Seleção de modelos, seleção de variáveis na
regressão linear. Validação de modelos e distribuições preditivas.
7. Métodos Numéricos: MCMC na inferência Bayesiana, Aproximações de Bayes Factors
8. Modelos hierárquicos, Modelos para dados faltantes, Modelos de mistura para dados
extremos

 

Econometria

1. O Modelo de Regressão Linear Clássica.
2. Álgebra linear aplicada ao problema de mínimos quadrados.
3. Propriedades de pequena amostra do estimador de Mínimos Quadráticos Ordinários (MQO).
4. Teoria assintótica para o MQO.
5. Mínimos Quadráticos Generalizados.
6. Heterocedasticidade.
7. Autocorrelação serial dos resíduos. Testes para autocorrelação e estimação de modelos com
correlação serial.
8. Estimador de Variáveis Instrumentais (IV).
9. Propriedades estatísticas do estimador IV.
10. Testes para qualidade dos instrumentos. Teste de endogeneidade.
11. Estimação via método dos momentos generalizados (GMM).
12. Estimadores GMM para modelos de regressões lineares.
13. Propriedades assintóticas do estimador GMM.

 

Controle Estatístico do Processo

Abordagens estatísticas para monitoramento de processos que geram estruturas de dados
apresentando diferentes complexidades.
1. Modelos Regressão com estruturas variadas: Dados de reposta do tipo contagem, binários,
politômicos, contínuos, multivariados.
2. Estatística Multivariada: Componentes Principais, Componentes Independentes, Análise
Discriminante, K-ésimo Vizinho mais Próximo.

 

Consultoria Estatística

Disciplina de ementa variável. A disciplina visa o contato dos mestrandos com problemas
estatísticos enfrentado por pesquisadores e profissionais das mais diversas áreas. Os alunos
receberão profissionais e outros pesquisadores de áreas afins da estatística que apresentarão
seus problemas. O objetivo é discutir, estudar, propor e implementar uma ou mais soluções para
os problemas apresentados. A análise e solução dos problemas será desenvolvida pelos alunos
sob a supervisão de um professor do programa. Esta disciplina contará com o apoio do NAE –
Núcleo de Assessoria Estatística da UFRGS, que possui experiência tanto em consultoria tanto
no contato com clientes, facilitando a interação entre mestrandos, professores e profissionais.

 

Análise

1. Números naturais. Axiomas de Peano. Princípio da Indução Matemática. Princípio da Boa
Ordem. Conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Método da diagonal de
Cantor. Corpos Ordenados. Corpos arquimedianos. Axioma do Supremo. Teorema dos
Intervalos Encaixantes. Números Reais e sua não enumerabilidade.

2. Sequências e subsequências de números reais: limitação e monotonicidade. Limites de
sequências: operações, permanência do sinal, critério do confronto, Teorema de Bolzano-
Weierstrass, Critério de Cauchy, limites infinitos, ordem de grandeza.
3. Séries de números reais: convergência e divergência, séries alternadas, convergência
absoluta, Teorema de Riemann, Testes de convergência, representação de um número real em
uma base dada.
4. Conjuntos abertos, fechados, pontos de acumulação, conjuntos compactos, conjunto de
Cantor e representação ternária, função de Cantor. Limite de funções: limites laterais, infinitos e
no infinito.
5. Continuidade de funções: funções contínuas em intervalos, Teorema do Valor Intermediário,
Teorema de Weierstrass, continuidade da função inversa, descontinuidades de uma função
monótona, continuidade uniforme, condições de Lipschitz e de Hölder.
6. Diferenciabilidade de funções: derivada e crescimento local, Regra da Cadeia, Teorema do
Valor Intermediário para Derivadas, Teorema de Rolle, Teorema do valor Médio e aplicações,
derivabilidade da função inversa, Fórmula da Taylor e estimativas para o resto, Teorema do
Valor Médio de Cauchy, Regra de L’Hôpital, funções convexas.