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Vector spaces. Linear transformations. Decomposition into direct sum of invariant subspaces. Canonical forms. Spaces with inner product. Unitary, self-adjoint and normal operators. Bilinear and quadratic forms.

Adjunction of roots. Splitting field, normal and separable extensions, algebraic closure, Groups, Normal groups and homomorphisms, permutation groups, simple groups, solvable groups. Galois group, Fundamental Galois Correspondence Theorem, Solubility by radicals.

Ring of algebraic integers, discriminant, integral basis. Dedekind rings, extensions of Dedekind rings. Norm and classes of ideals, finiteness of the class group. Minkowski geometric theory, structure of the unit group. Ramification, discriminant, different. Ramification in Galoisian extensions.

Anéis Noetherianos: Decomposição Primária e Aplicações. Filtração, graduação e Polinômio d Hilbert-Samuel. Extensões Inteiras. Teoria da Dimensão em Anéis Noetherianos. Álgebra de Tipo Finito: Lema de Normalização, Catenaridade, Teorema dos Zeros, Fecho Inteiro de uma Álgebra de Tipo Finito.

Extensões algébricas, normais, separáveis. O grupo de Galois de um polinômio, teorema fundamental de Galois. A equação geral de grau n. Corpos finitos. Extensões ciclotômicas e polinômios ciclotômicos. Extensões cíclicas. Resolução de equações por radicais. Construções com régua e compasso. Extensões transcedentais: base de transcendência, grau de transcendência, teorema de Luröth.

Revisão de conceitos básicos. Anéis e módulos. Módulos Noetherianos e Artinianos. Anéis Noetherianos e Artinianos. Exemplos. Semi-simplicidade. Teorema de Wedderlburn-Artin. Estrutura de Anéis semi-simples Artinianos. O radical de Jacobson. Definição e propriedades. Mudança de Anéis e cálculos do radical. Anéis primos e semi-primos. Ideais primos, primitivos, semi-primos e semi-primitivos. O radical primo e nilradicais. Teoremas de Estrutura para anéis primitivos e semi-primitivos. Teoremas de densidade.

Noções básicas. Curvas projetivas. Pontos regulares e singulares. Morfismos e aplicações racionais. Resolução de singularidades. Teorema de Bezout. Divisores. Teorema de Riemann-Roch e aplicações.

Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.

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Programa variável, a critério da Comissão Coordenadora.

Funções holomorfas. Teorema de Cauchy. Teorema de Morera. Lema de Schwartz. Expansões de Laurent e Taylor. Teorema de Liouville. Teorema de Weierstrass. Teorema dos Resíduos. Funções harmônicas. Fórmula de Poisson e Poisson-Jensen. Problema de Dirichlet. Representações conforme. Teorema de Riemann. Extensões analíticas.

Fatoração em produtos canônicos de Weierstrass. Teorema de Mittag Leffler. Função Gama. Função Zeta de Riemann. Genus e ordem de funções inteiras. Teorema de Picard. Produtos de Blaschke. Espaço Hp. Funções internas. Funções elípticas de Weirstrass. Funções elípticas de Jacobi. Prolongamento analítico. Teorema da Monodromia. Superfícies de Riemann.

Medida. Medida exterior. Teorema de Carathéodory. Medida de Lebesgue. Teoremas de Convergência. Medidas de Borel positivas. Espaços Lp. Teoria elementar dos espaços de Hilbert e representação de funcionais lineares contínuos. Teorema de Radon-Nikodym. Representação de funcionais lineares contínuos em Lp e em C(X). Diferenciação em R: funções absolutamente contínuas. Diferenciação em Rn. Medidas produto. Teorema de Fubini. Convolução.

Espaços de Banach e de Hilbert. Teorema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplicação aberta e do gráfico fechado. Teorema de Hahn-Banach. Dualidade. Topologias fracas. Teorema de Alaoglu. Teorema de Krein-Milman. Teorema de Banach-Saks. Operadores Compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos. Operadores de Hilbert-Schmidt. Álgebra de Banach. Teoria de Gelfand-Naimark. Teoria espectral de operadores normais limitados.

Séries de Fourier: Convergência pontual, uniforme e à Cesaro. Transformada de Fourier em L1, L2 e S. Classificção de equações de 2ª ordem. Problemas bem postos. Equações de Laplace: solução fundamental, problema de Dirichlet e de Neumann, Função de Green, propriedade do valor médio. Princípio do Máximo. Problema de Dirichlet na bola e no semi-espaço. Singularidades removíveis, Transformada de Kelvin e problema exterior. Potencial Newtoniano. Equação da onda: resolução por séries e transformada de Fourier, Unicidade, domínio de influência e dependência, solução por médias esféricas e método da descida de Hadamard. Equação do Calor: Núcleo de Poisson, resolução em intervalos finitos. Princípio do Máximo e Unicidade.

Espaços vetoriais topológicos localmente convexos. Espaços de Frechet. Distribuições: derivação, multiplicação, suporte e convolução. Distribuições temperadas. Transformada de Fourier. Espaços de Sobolev. Dualidade entre espaços de Sobolev. Imersões de Sobolev. Traços.

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Variedades, Tensores e Conexões, Espaços-Tempo, Tensor Energia-Momentum e equação do campo de Einstein. Modelos Cosmológicos e o Teorema de Hawking-Penrose.

Espectro de Operadores. Quantização. Limite Semi-Clássico. Quantização Geométrica. Distribuição dos Autovalores Laplaciano em Variedades de Curvatura Negativa. Outros tópicos.

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Espaços métricos. Conjuntos conexos e compactos. Espaços completos. Teorema do ponto fixo e aplicaçõs. Teorema de Stone-Weierstrass. Cubo de Hilbert. Teorema de Ascoli. Espaços topológicos. Teorema de Tychonov. Outros tópicos.

Curvas. Triedro de Frenet. Superfícies. Primeira forma quadrática. Aplicação normal de Gauss. Teorema Egregium de Gauss. Geometria intrínseca. Teorema de Gauss-Bonet. Formas diferenciais. Teorema de Stokes-Green-Gauss.

Subvariedades do Rn e variedades diferenciáveis. Teorema de Whitney. Campos de vetores. Pontos críticos. Índice. Característica de Euler. Outros tópicos.

Métricas riemannianas, conexão Riemanniana. Geodésicas, curvaturas, campos de Jacobi. Equações fundamentais de uma imersão isométrica. Variedades completas, espaços de curvatura constante. Variações de energia, teoremas de comparação, teorema do índice. O teorema da esfera.

Elementos de topologia plana. Teorema de Jordan. Homologia singular e simplicial. Co-homologia. Grau de transformação contínua. Exemplos e aplicações.

Diferencial analítico e harmônico. Teorema de uniformização. Teorema de Riemann-Roch. Pontos de Weierstrass. Teorema de Abel.

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Sistemas lineares. Teorema de decomposição de Jordan. Campos de vetores. Teoremas de existência e unicidade. Singularidades. Linearização em torno de singularidades. Estabilidade de Liapounov. Teorema de Poincaré-Bendixson. A Equação de Vanderpoll. Outros tópicos.

Campos lineares: hiperbolicidade, genericidade e estabilidade. Estabilidade local: teorema de Grobman-Hartman. Teorema da variedade estável. Transformação de Poincaré. Transversalidade. Teorema de Kupka-Smale. Campos de vetores em S1, todo e em variedades bidimensionais. Difeomorfismos de Anosov e Axioma A. Particões de Markov.

Medidas invariantes. Teoremas ergódicos. Recorrência. Esntropia. Teorema de Oseledet. Medida de Bowen-Ruelle-Sinai. Introdução ao Formalismo Termodinâmico.

Aplicações Unimodais. Polinômios quadráticos reais. Existência de medidas absolutamente contínuas. Dinâmica complexa. O conjunto de Mandelbrot. Outros tópicos.

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Dinâmica Newtoniana, Lagrangeana e Hamiltoniana em espaços Euclidianos e em variedades diferenciáveis. Formas diferenciais. Teorema de Hamilton-Jacobi. Teorema KAM. Variedades Lagrangeanas. Outros tópicos.

Sistemas dissipativos. Atratores estranhos. O sistema de Lorenz e Henon. Caracterização de atratores. Expoentes característicos de Liapounov, dimensão e entropia. Caos e Fractais. Capacidade e Dimensão de Hausdorff. Aplicações.

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Primeira variação do volume de uma subvariedade. Subvariedades mínimas. Subvariedades mínimas em espaços euclidianos e em esferas. Órbitas de um grupo de isometrias e subvariedades mínimas. Geometria kahleriana e a desigualdade de Wirtinger. Segunda variação do volume; o teorema do índice para subvariedades mínimas; estabilidade. O Problema de Plateau e suas generalizações. Superfícies mínimas em Rn. O Teorema Chern-Osserman. O Teorema de Osserman sobre superfícies mínimas com curvatura total finita. Superfícies mínimas mergulhadas. Outros tópicos.

Grupos Topológicos. Grupos de Lie. Medida de Haar. Álgebra de Lie. Subgrupos a um parâmetro. Aplicações à Geometria. Outros tópicos.

Linhas escondidas, sombreamento, modelos de reflexão. Técnicas especiais: Z-Buffer, Ray-Tracing, Radiosidade, Técnicas de Bezier, B-Splines, modelação de superfícies: Bezier Splines, Coons-Patches, Polinômios de Hermite. Outros tópicos.

Séries Temporais Estacionárias. Noções de Espaços de Hilbert. Análise Espectral. Filtros Lineares Digitais. Predição Linear: Processos Arima. Teoria da Distribuição dos Estimadores Espectrais com aplicações à Inferência Estatística.

Modelos Probabilísticos. Variáveis Aleatórias e suas Distribuições. Esperança Matemática. Distribuição e Esperança Condicional. Lei dos Grandes Números. Função Característica. Modos de Convergência. Teorema Central do Limite.

Família de Distribuições Exponenciais. Teoria da Estimação Pontual: Estimadores UMVU. Equivariância, Diferentes Métodos de Estimação, Estatísticas Suficientes Minimais, Estimação de Bayes e Minimax. Teoria de Neyman-Pearson para Testes de Hipótese: noções fundamentais da teoria de Neyman-Pearson, Famílias com Razão de Verossimilhança Monótona, Testes não Viciados e Invariantes. Inferência Estatística Seqüencial.

Cadeias de Markov a tempo discreto. Cadeias de Markov a tempo contínuo. Processo de Poisson. Processos de nascimento e morte. Processos de ramificação. Processos de renovação. Processos estacionários. Processos Markovianos. Martingales. Movimento Browniano.

Conjuntos de Borel. Medida de Lebesgue. Medidas em Rn. Funções mensuráveis. Funções de distribuição. Convergência Fraca. Integral. Integral com respeito à medida de Lebesgue. Medida Produto e o Teorema de Fubini. Variáveis Aleatórias e Esperança Matemática. Lei dos Grandes Números. Convergência de séries aleatórias. Convergência de distribuições. Função característica. O Teorema Central do Limite. Distribuições infinitamente divisíveis. O método dos momentos. Teorema de Radon-Nikodyn. Probabilidade Condicional. Esperança Condicional. Martingales: desigualdades e teoremas de convergência.

Elementos de Análise Estocástica: convergência, continuidade, derivadas e integrais. Teoria da Correlação de processos estocásticos. Teorema de Kolmogorov sobre distribuições finito-Dimensionais. Martingales. Processos Markovianos. Geradores infinitesimais. Difusão.

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Geração de Números Aleatórios. Geração de Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas: Binomial, Poisson, Uniforme, Gamma, Normal. Uso da Simulação Estocástica na Inferência Estocástica. Integração Estocástica e Monte Carlo. Simulação Estocástica Multivariada. Simulação do Movimento Browniano. Algoritmos Estocásticos.

Bases de Gröbner e algoritmos; Funções de Hilbert e suas aplicações; Graus de complexidade de um módulo graduado e suas majorações; Aplicações da Álgebra à Teoria de Grafos; Aplicações da Álgebra à Combinatória.

Equações lineares elípticas. O princípio do máximo de Hopf. Equações de Laplace e Poisson. Teoria de Schauder. O método de Perron. O problema de Dirichlet para equações lineares uniformemente elípticas. Estimativas de Hölder. Operadores quase-lineares elípticos. O princípio do máximo para diferença de duas soluções. O princípio do máximo para o gradiente. O problema de Dirichlet para equações quase lineares elípticas. O método da Continuidade. Aplicações à teoria das superfícies de curvatura média constante.

Espaços de Sobolev. Aproximações. Extensões e Traços. Desigualdades de Sobolev. Megulhos compactos. Equações lineares elípticas. Soluções fracas. Existência de soluções fracas: Lema de Lax-Milgram, Alternativa de Fredohlm. Regularidade. Autovalores de operadores lineares simétricos.

Modelos ARIMA (p,d,q) e ARFIMA (p,d,q). Propriedades de longa e curta dependência. Métodos de estimação do parâmetro de integração d. Previsão e sazonalidade em Processos Estocásticos de longa dependência. Aplicações com dados experimentais. Análises através de simulações fazendo uso de programas na linguagem Fortran. Aplicações através de programação pelos softwares Mathematica e Splus.

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Curvas algébricas planas afins e projetivas; aplicações regulares e racionais. Pontos singulares e não singulares. Topologia no espaço afim: Conjuntos irredutíveis. Aplicações regulares e racionais. Variedades quase-projetivas. Variedades afins e projetivas; funções regulares e racionais. Produtos e aplicações de variedades quase-projetivas. O Teoremas sobre a imagem de uma variedade projetiva. Aplicações finitas. Teorema de Normalização de Noether e aplicações. Teoria da dimensão: dimensão da interseção com uma hipersuperfície; Teorema sobre a dimensão das fibras e aplicações. Propriedades locais: Pontos singulares e não singulares; o anel local de um ponto. O espaço tangente e o cone tangente. Expansões em séries de potências e parâmetros locais. Subvariedades de codimensão 1 e subvariedades não-singulares.

Estrutura de aplicações birracionais: Explosão em espaços projetivos; explosão local. Subvariedades excepcionais. Isomorfismos equivalências birracionais. Variedades Normais: normalização de uma variedade afim; o caso de uma curva. Mergulhos projetivos de uma variedade não-singular. Singularidades de uma aplicação: Irredutibilidade, não-singularidade e ramificação. Divisores e formas diferenciais: divisor de uma função, divisores de Cartier e de Weil. Deformação linear do suporte de um divisor; divisores e aplicações racionais. Sistemas lineares. Divisores de curvas. Teorema de Bézout para curvas. Dimensão de um divisor. A cúbica plana: Lei de grupo; aplicações regulares. Aplicações. Formas diferenciais: Módulo de diferenciais. As p-formas. Formas diferenciais racionais. A classe canônica e o teorema de Riemann-Roch para curvas; mergulho projetivo de uma superfície.

Números de interseção: aditividade, invariância sob equivalência linear e demais propriedades. Teorema de Bézout em espações projetivos. O Teorema de Riemann-Roch em superfícies. O anel de Chow. Aplicações birracionais entre superfícies. Resolução de indeterminações. Teorema de fatoração. Singularidades de curvas e superfícies; singularidades de Du val. Degeneração de curvas. Esquemas afins: Espectro de um anel e topologia de Zariski. Irredutibilidade e dimensão. Feixes: pre-feixes. Pre-feixe de Estrutura. Feixe associado a um pre-feixe e fibras de um feixe. Esquemas: definição, colagem; esquemas fechados, reduzidos e nilpotentes. Condições de finitude. Produtos fibrados; esquemas separados e próprios.

Revisão de esquemas afins e esquemas em geral: o caso dos esquemas projetivos. Fibrados vetoriais e feixes. Divisores e fibrados em retas. Variedades abstratas e variedades quase-projetivas. Explosão ao longo de uma subvariedade. Critérios de afinidade e projetividade; exemplo de variedade non-quase-projetiva. Feixes coerentes: co-homologia de feixes e teoremas de finitude. A dualidade de Serre para espaços projetivos. O caso de Esquemas projetivos e o teorema de Riemann-Roch para superfícies.

A superfície cúbica no espaço projetivo. Variedades regradas. Curvas em superfícies e números de interseção. Feixes e co-homologia coerente. Superícies K3. Singularidades de superfícies. Modelos minimais de superfícies via Teoria de Mory. Classificação de Enriques-Kodaira de superfícies (algébricas).

Grupos algébricos afins. Ações de grupos algébricos sobre variedades. Álgebras de Lie: espaços tangentes; convoluções, etc. Espaços homogêneos: teorema de Chevalley e quocientes. Correspondências entre grupos algébricos e álgebras de Lie: teoria de invariantes, subgrupos normais, centralizadores, etc: grupos semi-simples. Elementos semi-simples e unipotentes: decomposição de Jordan; estrutura de grupos algébricos comutativos; grupos diagonalizáveis. Grupos solúveis: Teorema de Lie-Kolchin; grupos solúveis conexos.

Conceitos básicos: álgebras de Lie, representação adjunta, séries de composição. Álgebras nilpotentes, álgebras solúveis, radicais, teoremas de Lie e Engel. Álgebras semi-simples, critérios de Cartan. Cohomologia, Teoremas de decomposição de Weyl e de Levi. Sistemas de raízes, diagramas de Dynkin, classificação dos diagramas. Grupos de Weyl, câmeras de Weyl, decomposições minimais.

Álgebras envelopantes. Teorema de Ado. Representação das álgebras de Lie semi-simples, álgebras de Clifford. Álgebras semi-simples reais: decomposição de Cartan, álgebras clássicas. Sistemas de raízes: sistemas restritos, diagramas de Satake. Classificação das álgebras semi-simples reais. Representação das álgebras reais.

Teoremas de comparação e estimativas do gradiente, Splitting theorem. Funções harmônicas em variedades de curvatura negativa. O problema de Dirichlet no bordo assintótico. Desigualdade de Harnack e núcleo de Poisson. Martin boundary e representação integral de Martin.

Problemas de autovalores. Estimativas por baixo e por cima do primeiro autovalor. Conjuntos nodais e multiplicidade dos autovalores. “gaps” entre autovalores. O núcleo do calor em variedades Riemannianas. Estimativas do gradiente do núcleo do calor. Aplicações.

Deformação conforme da curvatura escalar. O caso bi-dimensional. O problema de Yamabe e o invariante conforme. Transformações conformes e variedades localmente conformemente planas. Mergulhos de variedades localmente conformemente planas em esferas. Topologia de variedades localmente conformemente planas.

Espaços homogêneos, Conexões afins invariantes. Espaços homogêneos redutíveis. Métricas riemannianas invariantes, grupo de holonomia. Teorema da decomposição de de Rham e irredutibilidade. Espaços simétricos, conexão canônica, espaços simétricos riemannianos. Estrutura das álgebras de Lie ortogonais simétricas.

Subvariedades totalmente geodésicas. Sistemas triplos de Lie. Posto de um espaço simétrico. Espaços simétricos do tipo compacto. Subgrupos compactos maximais e suas conjugações. Decomposição de Iwasawa.. Espaços simétricos do tipo não compacto. O grupo de Weyl e as raízes restritas. Teorema de classificação.

Cálculo das variações. Equações de Euler Lagrange. Existência de minimizantes. Coercividade. Convexidade. Soluções fracas. Regularidade. Aplicações harmônicas. Incompressibilidade. Pontos críticos. Teorema do passo da montanha. Aplicações a EDP semilineares.

Variedades de curvatura negativa. O grupo fundamental. Teorema de Preissman. O bordo assintótico M(). Topologia do Cone. Axioma da visibilidade. Funções de Busemann e horoesferas. Segunda forma fundamental das horoesferas. Posto. Vetores regulares e k-planos. Geometria de Tits. A métrica Td de Tits em M(). Geodésicas de Tits. Convexidade de (M(),Td).

Teoria de Galois de Corpos, revisão. Extensões separáveis e Galoisianas. Teorema Fundamental de Galois. Aplicações de Anéis Comutativos.

Módulos livres, projetivos e injetivos. Módulos planos.Dimensão uniforme. Submódulo singular. Submódulos essenciais e densos.Categorias de Módulos. Condições de finitude. As categorias s (M) e s (R).

Teoria geral de radicais. Construção de radicais.Anéis nil e nilpotentes. O nilradical superior e o nilradical inferior. Radical de Levitzki. Radicais e condições de cadeia. Radical de Jacobson. Regularidade. Anéis primitivos. Outros radicais de anéis. O radical de Brown-Mc Coy. Radicais fortemente primos. Aplicações.

Álgebras e co-álgebras. A topologia finita. Co-álgebra dual. O dual finito. Comódulos. Módulos racionais. Álgebras de convolução. Bi-comódulos e produtos co-tensoriais. Classes especiais de co-álgebras e co-Módulos. Co-álgebras co-semi-simples, semi-perfeitas e co-Frobenius.

Pre-requisitos. Definição e exemplos. Antípodas. Hopf módulos. Integrais e semi-simplicidade. Teorema de Maschke. Ações de álgebras de Hopf. Produto Smash. Contexto de Morita relacionando R#H com RH. Traço. Co-radicais e filtrações. Produtos cruzados. H-extensões de Galois.

Preliminares. Anéis com condições de cadeia. Exemplos. Anéis de Goldie. Dimensão uniforme. Anéis de quocientes. Teoremas de Goldie. Teorema de estrutura de anéis de Goldie semi-primos. Ideais primos minimais. Equivalência de Morita. Contexto de Morita e anéis primos. Anéis e módulos de quocientes. Envelopes injetivos e anéis de quocientes.