Comentários sobre educação matemática – Piaget

Autor: Jean Piaget

Tradução: Eduardo Britto Velho de Mattos, a tradução é fruto de uma atividade voluntária proposta na disciplina Psicologia da Educação II e destina-se aos estudos desenvolvidos nessa disciplina.

Supervisão da tradução: Paulo Francisco Slomp.

Fonte: PIAGET, Jean. Comments on mathematical education. [transl.: Joan Bliss]. In: Developments in mathematical education : proceedings of the 2nd International congress on mathematical education, Exeter, August 29th September 2nd, 1972 / ed.: Albert Geoffrey Howson. London : Cambridge University Press, 1973. P. 79-87. Ce texte a été lu pour le compte de Jean Piaget au Congrès international pour l’enseignement des mathématiques à Exeter/Angleterre.

A orientação dada à educação matemática depende naturalmente da interpretação adotada do desenvolvimento psicológico ou da aquisição das operações e das estruturas lógico-matemáticas. Essa orientação depende igualmente do sentido epistemológico dado a essas questões. A psicogênese e a significação epistemológica são estreitamente relacionadas. Se o platonismo está certo ao considerar que as entidades matemáticas existem independentemente do sujeito, ou se o positivismo lógico está correto ao reduzir as entidades matemáticas a uma sintaxe e a uma semântica gerais; em ambos os casos seria justificável colocar a ênfase na simples transmissão de verdades do professor para as crianças e usar, logo que possível, a linguagem do professor, ou seja, a linguagem axiomática, sem muita preocupação a respeito das idéias espontâneas da criança.

Nós acreditamos, ao contrário, que existe, como uma função do desenvolvimento global da inteligência, uma espontânea e gradual construção das estruturas lógico-matemáticas elementares e que essas estruturas ‘naturais’ (‘naturais’ no mesmo sentido em que falamos dos números ‘naturais’) são muito mais próximas das que estão sendo utilizadas na matemática ‘moderna’ do que as que são utilizadas na matemática tradicional. Existe entretanto um corpo de fatos que são em geral pouco conhecidos dos professores, mas que, uma vez que eles melhorem o seu conhecimento sobre psicologia, seria de considerável utilidade e ajudaria-os bem mais do que fazer outras coisas complicadas. Isto também facilitaria a realização de vocações criativas nos alunos, ao invés de considerá-los simplesmente como instrumentos de recepção.

Contudo, para atingir este estágio é necessário revisar nossas idéias sobre a relação entre linguagem e ação. Pareceria psicologicamente evidente que a lógica não surge fora da linguagem, mas de uma fonte mais profunda, e isto pode ser encontrado na coordenação geral das ações. De fato, anteriormente a qualquer linguagem, num nível puramente sensório-motor, as ações são suscetíveis a repetições e depois a generalizações, constituindo o que pode ser chamado de esquemas de assimilação. Estes esquemas se auto-organizam de acordo com certas leis e parece impossível negar a relação entre eles e as leis da lógica. Dois esquemas podem ser coordenados ou dissociados (reunião), um pode ser parcialmente incluído no outro (inclusão), ou somente ter uma parte em comum com o outro (intersecção); as partes de um esquema ou a coordenação de dois ou mais esquemas podem permitir uma ordem invariante de sucessões, ou certas permutações (tipos de ordem), assim como correspondência um-a-um, um-a-muitos ou muitos-a-um (bijeção, etc.). Considerando que um esquema impõe um objetivo para uma ação, é contraditório para o sujeito ir em sentido oposto. Em resumo, há toda uma lógica da ação que comanda a construção de certas identidades, e isto vai além da percepção (por exemplo, a permanência de objetos ocultos), conduzindo à elaboração de certas estruturas (o grupo prático de deslocamentos, já descrito por Poincaré em seu ensaio epistemológico).

Portanto seria um grande equívoco, particularmente em educação matemática, negligenciar o papel das ações e sempre retornar ao nível da linguagem. Particularmente com alunos jovens, atividades com objetos são indispensáveis para a compreensão da aritmética, assim como das relações geométricas (como foi o caso com a matemática empírica dos Egípcios). A aversão dos professores de matemática à atividades que envolvam experimentação material é compreensível. Eles provavelmente vêem uma variedade de referências das propriedades físicas dos objetos e podem temer que verificações empíricas possam prejudicar o desenvolvimento da dedução e da racionalidade pura que caracteriza sua disciplina. Mas, na verdade, isto é uma incompreensão fundamental e uma análise psicológica nos permite afastar estes medos e reassegurar aos matemáticos, com relação a sua demanda essencial, de que os aspectos dedutivos e formais da mente podem ser educados. Existem, na verdade, dois tipos de ‘experiências’, uma bem diferente da outra, que estão relacionadas às ações do sujeito. Em primeiro lugar, há o que é conhecido como ‘experiência física’ (no sentido amplo) que consiste em agir sobre os objetos para descobrir as propriedades dos próprios objetos, por exemplo, comparando pesos ou densidades, etc. Mas existe também, e isto geralmente não é conhecido, o que pode ser chamado de ‘experiência lógicomatemática’. Este tipo de experiência retira informação, não das propriedades físicas de objetos particulares, mas das ações atuais (ou mais precisamente de sua coordenação) executadas pelas crianças sobre os objetos. Estes dois tipos de experiência não são equivalentes. Um amigo meu e matemático muito conhecido disse que o começo de seu interesse pela matemática foi provocado por uma experiência do segundo tipo que lhe aconteceu quando ele tinha cerca de quatro ou cinco anos de idade. Sentado no jardim, ele começou a entreter-se colocando pedrinhas em linha e contando-as, por exemplo, de um a dez, da esquerda para a direita. Após ele contou-as da direita para a esquerda e, para a sua grande surpresa, ainda encontrou dez. Então colocou-as em um círculo e, entusiasmado contou novamente — dez!. Contou-as no sentido oposto e eram dez em ambos os sentidos. Continuou organizando as pedrinhas de variados modos e terminou convencendo-se de que a soma, dez, era independente da disposição ou organização das pedrinhas. É evidente que nem a soma nem a organização são propriedades físicas das pedrinhas, até aquele momento em que a criança de fato as tenha organizado ou colocado todas juntas. Neste instante a criança descobriu que a ação de reunir pedrinhas produz resultados e estes resultados são independentes do ato de ordenação das mesmas. Ela pode observar isso com qualquer objeto sólido. As propriedades físicas das pedras não representaram papel particular algum (além do fato de que as pedrinhas ‘aceitavam’ estas ações, a natureza delas, não obstante, permaneceu inalterada, isto é, foi conservada; e a própria conservação também proporciona uma experiência lógico-matemática).

O papel inicial das ações e experiências lógico-matemáticas, longe de impedir o ulterior desenvolvimento de pensamento dedutivo, constitui, ao contrario, a preparação necessária, e isto por duas razões. A primeira é que as operações mentais ou intelectuais, que participam dos processos de raciocínio dedutivo subseqüentes, originam-se das ações. São ações interiorizadas e, uma vez que tenham sido interiorizadas e coordenadas, será o suficiente. Então experiências lógico-matemáticas na forma de ações materiais não serão mais necessárias e a dedução interiorizada será suficiente. A segunda razão é que as coordenações das ações e a experiência lógico-matemática, enquanto se interiorizam, proporcionam a criação de uma variedade particular de abstração que corresponde precisamente à abstração lógica e matemática. Ao contrário das abstrações comuns ou aristotélicas, que originam-se das propriedades físicas dos objetos e por essa razão são chamadas de ‘abstrações empíricas’, a abstração lógico-matemática refere-se à ‘abstração reflexionante’ e isso por duas razões relacionadas. De um lado, esta abstração ‘reflete’ (no mesmo sentido que um refletor ou projetor) tudo que estava em um plano inferior (por exemplo, esse plano das ações) e projeta para um plano superior, o do pensamento ou representação mental. Por outro lado, é uma ‘abstração reflexionante’ no sentido de uma reorganização da atividade mental que reconstrói em um nível superior tudo que foi extraído da coordenação das ações.

Entretanto, entre a idade em que ações materiais e experiências lógico-matemáticas são necessárias (antes dos 7/8 anos de idade) e a idade em que o pensamento abstrato começa a tornar-se possível (por volta dos 11/12 anos através de níveis sucessivos, até os 14/15 anos), há um importante estágio cujas características são interessantes para o psicólogo e muito úteis ao professor. Entre os 7 e 11/12 anos de idade podemos observar um importante desenvolvimento espontâneo de operações dedutivas com suas características de conservação, reversibilidade, etc. Elas permitem a elaboração da lógica elementar de classes e relações, a construção operacional de toda a série dos números pela síntese das noções de inclusão e ordem [Nota de rodapé: Muitos autores (Freudenthal, etc), parecem entender que eu penso que os números ordinais são mais primitivos do que os números cardinais, ou o contrário. Nunca fiz tal afirmação e sempre considerei estes dois aspectos dos números finitos como indissociáveis e psicologicamente reforçadores um do outro em uma síntese que vai além de ambos, na direção da inclusão de classes e do ordenamento das relações assiméticas transitivas. Se a ordenação é necessária, é porque as unidades que se tornaram equivalentes pela abstração de suas qualidades podem somente ser distinguidas uma da outra pela sua posição na ordem. Mas a ordem das unidades elementares é relativa ao número (cardinal) de unidades que procede de cada uma das unidades assim ordenadas.], a construção da noção de medida pela síntese da subdivisão de um contínuo e o deslocamento regular ordenado de uma parte escolhida que serve como unidade, etc. Embora haja um progresso considerável no pensamento lógico infantil, ele é entretanto ainda muito limitado. Neste nível a criança não pode raciocinar a partir de puras hipóteses, expressadas verbalmente, e, para atingir dedução coerente, ela precisa aplicar seu raciocínio em objetos manipuláveis (no mundo real ou na sua imaginação). Por essas razões neste nível nos referimos a ‘operações concretas’, diferenciando-as das operações formais. Estas operações concretas são intermediárias entre as ações do estágio pré-operatório e do estágio de pensamento abstrato, que ocorre mais tarde.

Desta maneira, tendo estabelecido a continuidade entre as ações espontâneas da criança e seu pensamento reflexivo, podemos concluir que as noções essenciais que caracterizam a matemática moderna são mais próximas das estruturas de pensamento “natural” do que os conceitos usados na matemática tradicional. Primeiro, deve ser destacada a importância do papel espontâneo das operações que permitem o estabelecimento de correspondências entre conjuntos e, em decorrência, da construção de morfismos, e particularmente quando podem ser combinadas com seriações recorrentes. Temos, por exemplo, com B. Inhelder, pedido a crianças entre 4/5 e 7/8 anos de idade para colocar uma bolinha com uma mão em um copo transparente e simultaneamente, com a outra mão, colocar outra bolinha em um segundo copo que estava, entretanto, escondido atrás de um anteparo. As perguntas foram elaboradas para descobrir se as crianças entenderam ou não que os dois conjuntos assim constituídos eram equivalentes e também para descobrir se esta ação, caso continuasse indefinidamente, teria sua igualdade conservada. Todas as crianças entrevistadas admitiram a igualdade dos dois conjuntos enquanto a ação estava em curso. Porém as crianças mais novas se recusaram a generalizar no caso em que a ação continuasse indefinidamente. Por volta dos cinco ou seis anos em diante elas admitiram esta generalização e um menino mais novo, de cinco anos e meio, encontrou a seguinte fórmula muito divertida: ‘Quando alguém sabe uma vez, sabe para sempre’. Porém, esta mesma criança após ter visto um conjunto de dez fichas vermelhas enfileiradas em correspondência um-a-um com um segundo conjunto de dez fichas azuis recusou-se a admitir a conservação desta equivalência uma vez que os elementos de um dos conjuntos tinham sido mais espaçados entre si e a correspondência entre as duas fileiras não mais era visível. Este exemplo demonstra o papel construtivo do estabelecimento de uma correspondência combinada com a idéia de repetição.

[…]

O texto integral da tradução está disponível aos alunos da disciplina EDU01012 Psicologia da Educação II.

5 pensamentos em “Comentários sobre educação matemática – Piaget”

  1. As noções matematicas sempre são de relevancia significativa porque a matematica é sempre muito importante na construção de mundo das pessoas.

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