9.4 Regras compostas

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Em todas as estimativas de erro que derivamos, o erro depende do tamanho do intervalo de integração. Uma estratégia para reduzir o erro consiste em particionar o intervalo de integração em diversos subintervalos menores de forma que

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx=\sum _{i=1}^n{\int \; <!--nolimits-->}_{x_i}^{x_{i+1}}f\left(x\right)dx$$

(9.108)

onde $a=x_1<...<x_{n+1}=b$, sendo $n$ o número de subintervalos da partição do intervalo de integração. No caso uniforme $x_i=a+\left(i-1\right)h$, $h=\left(b-a\right)∕n$.

Depois, aplica-se um método simples de integração em cada subintervalo,

$${\int \; <!--nolimits-->}_{x_i}^{x_{i+1}}f\left(x\right)dx\approx \Delta S_i$$

(9.109)

e a integral será aproximada por

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx\approx S=\sum _{i=1}^n\Delta S_i.$$

(9.110)

9.4.1 Método composto dos trapézios

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A regra composta dos trapézios assume a seguinte forma: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& =& \sum _{i=1}^n{\int \; <!--nolimits-->}_{x_i}^{x_{i+1}}f\left(x\right)dx& \text{(9.111)}\\ & \approx & \sum _{i=1}^n\frac{x_{i+1}-x_i}{2}\left[f\left(x_i\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right].& \text{(9.112)}\end{array}$$

Como $h=x_{i+1}-x_i$, temos: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \approx & \frac{h}{2}\sum _{k=1}^{N_i}\left[f\left(x_k\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right]& \text{(9.113)}\\ & =& \frac{h}{2}\left[f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+2f\left(x_3\right)+\cdots +2f\left(x_{N_i}\right)+f\left(x_{N_i+1}\right)\right]& \text{(9.114)}\\ & =& \frac{h}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_{N_i+1}\right)\right]+h\sum _{i=2}^{N_i}f\left(x_i\right)& \text{(9.115)}\end{array}$$

9.4.2 Código GNU Octave: trapézio composto

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O código GNU Octave abaixo é uma implementação do método do trapézio composto para calcular:

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right]+h\sum _{i=2}^{n}f\left(x_i\right)+O\left(h^3\right),$$

(9.116)

onde $h=\left(b-a\right)∕n$ e $x_i=a+\left(i-1\right)h$, $i=1,2,\dots ,n+1$. Os parâmetros de entrada são: f o integrando definido como uma função, a o limite inferior de integração, b o limite superior de integração, n o número de subintervalos desejado. A variável de saída é y e corresponde a aproximação calculada de ${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx$.

9.4.3 Método composto de Simpson

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Já a regra composta de Simpson assume a seguinte forma: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& =& \sum _{k=1}^n{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)dx& \text{(9.117)}\\ & \approx & \sum _{k=1}^n\frac{x_{x+1}-x_k}{6}\left[f\left(x_k\right)+4f\left(\frac{x_{k+1}+x_k}{2}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right]& \text{(9.118)}\end{array}$$

onde, como anteriormente, $x_k=a+\left(k-1\right)h$, $h=\left(b-a\right)∕n$ e $i=1,2,\dots ,n+1$, sendo $n$ o número de subintervalos da partição do intervalo de integração. Podemos simplificar o somatório acima, escrevendo:

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx\approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_1\right)+2\sum _{i=1}^{n-1}f\left(x_{2i+1}\right)+4\sum _{i=1}^{n}f\left(x_{2i}\right)+f\left(x_{2n+1}\right)\right]+O\left(h^5\right)$$

(9.119)

onde, agora, $h=\left(b-a\right)∕\left(2n\right)$, $x_i=a+\left(i-1\right)h$, $i=1,2,\dots ,2n+1$.

9.4.4 Código em GNU Octave: Simpson composto

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O código em GNU Octave abaixo é uma implementação do método de Simpson composto para calcular:

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx=\frac{h}{3}\left[f\left(x_1\right)+2\sum _{i=1}^{n-1}f\left(x_{2i+1}\right)+4\sum _{i=1}^{n}f\left(x_{2i}\right)+f\left(x_{2n+1}\right)\right]+O\left(h^3\right),$$

(9.120)

onde $h=\left(b-a\right)∕\left(2n\right)$ e $x_i=a+\left(i-1\right)h$, $i=1,2,\dots ,2n+1$. Os parâmetros de entrada são: f o integrando definido como uma função, a o limite inferior de integração, b o limite superior de integração, n o número de subintervalos desejado. A variável de saída é y e corresponde a aproximação calculada de ${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Solução. As aproximações calculadas são apresentadas na seguinte tabela:

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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