Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Cálculo Numérico - Versão Python

9.4 Regras compostas


Em todas as estimativas de erro que derivamos, o erro depende do tamanho do intervalo de integração. Uma estratégia para reduzir o erro consiste em particionar o intervalo de integração em diversos subintervalos menores de forma que

abf(x)dx = i=1nxixi+1 f(x)dx (9.108)

onde a = x1 < ... < xn+1 = b, sendo n o número de subintervalos da partição do intervalo de integração. No caso uniforme xi = a + (i - 1)h, h = (b - a)n.

Depois, aplica-se um método simples de integração em cada subintervalo,

xixi+1 f(x)dx ΔSi (9.109)

e a integral será aproximada por

abf(x)dx S = i=1nΔS i. (9.110)

9.4.1 Método composto dos trapézios


A regra composta dos trapézios assume a seguinte forma: abf(x)dx = i=1nxixi+1 f(x)dx (9.111) i=1nxi+1 - xi 2 f(xi) + f(xi+1) . (9.112)

Como h = xi+1 - xi, temos: abf(x)dx h 2 k=1Ni f(xk) + f(xk+1) (9.113) = h 2 f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + + 2f(xNi) + f(xNi+1) (9.114) = h 2 f(x1) + f(xNi+1) + h i=2Ni f(xi) (9.115)

9.4.2 Código Python: trapézio composto


O código Python abaixo é uma implementação do método do trapézio composto para calcular:

abf(x)dx = h 2 f(x1) + f(xn+1) + h i=2nf(x i) + O(h3), (9.116)

onde h = (b - a)n e xi = a + (i - 1)h, i = 1,2,,n + 1. Os parâmetros de entrada são: f o integrando definido como uma função, a o limite inferior de integração, b o limite superior de integração, n o número de subintervalos desejado. A variável de saída é y e corresponde a aproximação calculada de abf(x)dx.


Aqui, cabe um código Python explicativo. Escreva você mesmo o código.
Veja como participar da escrita do livro em:
https://github.com/livroscolaborativos/CalculoNumerico

9.4.3 Método composto de Simpson


Já a regra composta de Simpson assume a seguinte forma: abf(x)dx = k=1nxkxk+1 f(x)dx (9.117) k=1nxx+1 - xk 6 f(xk) + 4f xk+1 + xk 2 + f(xk+1) (9.118)

onde, como anteriormente, xk = a + (k - 1)h, h = (b - a)n e i = 1,2,,n + 1, sendo n o número de subintervalos da partição do intervalo de integração. Podemos simplificar o somatório acima, escrevendo:

abf(x)dx h 3 f(x1) + 2 i=1n-1f(x 2i+1) + 4 i=1nf(x 2i) + f(x2n+1)+O(h5) (9.119)

onde, agora, h = (b - a)(2n), xi = a + (i - 1)h, i = 1,2,,2n + 1.

9.4.4 Código em Python: Simpson composto


O código em GNU Octave abaixo é uma implementação do método de Simpson composto para calcular:

abf(x)dx = h 3 f(x1) + 2 i=1n-1f(x 2i+1) + 4 i=1nf(x 2i) + f(x2n+1)+O(h3), (9.120)

onde h = (b - a)(2n) e xi = a + (i - 1)h, i = 1,2,,2n + 1. Os parâmetros de entrada são: f o integrando definido como uma função, a o limite inferior de integração, b o limite superior de integração, n o número de subintervalos desejado. A variável de saída é y e corresponde a aproximação calculada de abf(x)dx.


Aqui, cabe um código Python explicativo. Escreva você mesmo o código.
Veja como participar da escrita do livro em:
https://github.com/livroscolaborativos/CalculoNumerico

Exemplo 9.4.1. Calcule numericamente a integral

02x2ex2 dx (9.121)

pelas regras compostas do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos n = 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48 e 96.

Solução. As aproximações calculadas são apresentadas na seguinte tabela:





n Ponto médio Trapézios Simpson




1 5,4365637 218,3926 76,421909
2 21,668412 111,91458 51,750469
3 31,678746 80,272022 47,876505
6 41,755985 55,975384 46,495785
12 45,137529 48,865685 46,380248
24 46,057757 47,001607 46,372373
48 46,292964 46,529682 46,37187
96 46,352096 46,411323 46,371838




Exercícios resolvidos


Esta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

Exercícios


E 9.4.1. Use as rotinas computacionais para calcular numericamente o valor das seguintes integrais usando o método composto dos trapézios para os seguintes números de pontos:






n 01e-4x2 dx 01 1 1 + x2dx 01x4(1 - x)4dx 01e- 1 x2+1 dx





17 0,4409931              





33 0,4410288





65 0,4410377





129 0,4410400





257 0,4410405





513 0,4410406





1025 0,4410407 0,7853981 1,5873015873016E-3 4,6191723776309E-3





E 9.4.2. O valor exato da integral imprópria 01x ln(x)dx é dado por

01x ln(x)dx = x2 2 ln x - x2 4 01 = -14. (9.122)

Aproxime o valor desta integral usando a regra de Simpson para n = 3, n = 5 e n = 7. Como você avalia a qualidade do resultado obtido? Por que isso acontece.

Resposta.

-0.2310491, -0.2452073, - 0.2478649.

E 9.4.3. O valor exato da integral imprópria 0e-x2dx é dado por π 2 . Escreva esta integral como

I =01e-x2 dx +01u-2e-1u2 du =01 e-x2 + x-2e-1x2 dx (9.123)

e aproxime seu valor usando o esquema de trapézios e Simpson para n = 5, n = 7 e n = 9.

E 9.4.4. Estamos interessados em avaliar numericamente a seguinte integral:

01 ln(x) sen (x)dx (9.124)

cujo valor com 10 casas decimais corretas é - .2398117420.

a)
Aproxime esta integral via Gauss-Legendre com n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 e n = 7.
b)
Use a identidade 01 ln(x) sen (x)dx = 01 ln(x)xdx +01 ln(x) sen (x) - xdx (9.125) = x2 2 ln x - x2 4 01 +01 ln(x) sen (x) - xdx (9.126) = -1 4 +01 ln(x) sen (x) - xdx (9.127)

e aproxime a integral 01 ln(x) sen (x) - xdx numericamente via Gauss-Legendre com n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 e n = 7.

c)
Compare os resultados e discuta levando em consideração as respostas às seguintes perguntas: 1)Qual função é mais bem-comportada na origem? 2)Na segunda formulação, qual porção da solução foi obtida analiticamente e, portanto, sem erro de truncamento?

Resposta.

a)-0.2472261, -0.2416451, -0.2404596, -0.2400968, -0.2399563, -0.2398928. b)-0.2393727, -0.2397994, -0.2398104, -0.2398115, -0.2398117, -0.2398117.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

Informe erros ou edite você mesmo!