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Cálculo Numérico - Versão GNU Octave

Capítulo 4
Solução de sistemas lineares


Muitos problemas da engenharia, física e matemática estão associados à solução de sistemas de equações lineares. Nesse capítulo, tratamos de técnicas numéricas empregadas para obter a solução desses sistemas. Iniciamos por uma rápida revisão do método de eliminação gaussiana do ponto de vista computacional. No contexto de análise da propagação dos erros de arredondamento, introduzimos o método de eliminação gaussiana com pivotamento parcial, bem como, apresentamos o conceito de condicionamento de um sistema linear. Além disso, exploramos o conceito de complexidade de algoritmos em álgebra linear. Então, passamos a discutir sobre técnicas iterativas, mais especificamente, sobre os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.

Considere o sistema de equações lineares (escrito na forma algébrica)

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm (4.1)

onde m é o número de equações e n é o número de incógnitas. Este sistema pode ser escrito na forma matricial

Ax = b (4.2)

onde:

A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n a m1 am2 amn ,x = x1 x2 x n  e b = b1 b2 b m , (4.3)

onde A é chamada de matriz dos coeficientes, x de vetor das incógnitas e b de vetor dos termos constantes.

Definimos também a matriz completa (também chamada de matriz estendida) de um sistema como Ax = b como [A|b], isto é,

[A|b] = a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 a m1 am2 amn bm (4.4)

Salvo especificado ao contrário, assumiremos ao longo deste capítulo que a matriz dos coeficientes A é uma matriz real não singular (isto é, invertível).

Exemplo 4.0.1. Consideramos o seguinte sistema linear

x + y + z = 1 4x + 4y + 2z = 2 2x + y - z = 0. (4.5)

Na sua forma matricial, este sistema é escrito como

Ax = b 1 1 1 4 4 2 2 1 -1 A x y z x¯ = 1 2 0 b. (4.6)

No GNU Octave, podemos definir a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes b da seguinte forma:

>> A = [1 1 1;4 4 2;2 1 -1]  
A =  
   1   1   1  
   4   4   2  
   2   1  -1  
 
>> b = [1 2 0]’  
b =  
   1  
   2  
   0

A matriz estendida do sistema acima é

E := [A|b] = 1 1 1 1 4 4 2 2 2 1 -1 0 . (4.7)

No GNU Octave, podemos definir a matriz dos estendida E deste sistema com

>> E = [A b]  
E =  
   1   1   1   1  
   4   4   2   2  
   2   1  -1   0

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 30/7/2018 às 13:16:35.

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