Solução de sistemas lineares

Cálculo Numérico - Versão Scilab

Capítulo 4
Solução de sistemas lineares

Muitos problemas da engenharia, física e matemática estão associados à solução de sistemas de equações lineares. Nesse capítulo, tratamos de técnicas numéricas empregadas para obter a solução desses sistemas. Iniciamos por uma rápida revisão do método de eliminação gaussiana do ponto de vista computacional. No contexto de análise da propagação dos erros de arredondamento, introduzimos o método de eliminação gaussiana com pivotamento parcial, bem como, apresentamos o conceito de condicionamento de um sistema linear. Além disso, exploramos o conceito de complexidade de algoritmos em álgebra linear. Então, passamos a discutir sobre técnicas iterativas, mais especificamente, sobre os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.

Considere o sistema de equações lineares (escrito na forma algébrica)

\begin{matrix} \begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = b_{m} \end{aligned} \end{matrix}

(4.1)

onde $m$ é o número de equações e $n$ é o número de incógnitas. Este sistema pode ser escrito na forma matricial

A x = b

(4.2)

onde:

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}], x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] e b = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}],

(4.3)

onde $A$ é chamada de matriz dos coeficientes, $x$ de vetor das incógnitas e $b$ de vetor dos termos constantes.

Definimos também a matriz completa (também chamada de matriz estendida) de um sistema como $A x = b$ como $[A | b]$ , isto é

[A | b] = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix}]

(4.4)

Salvo especificado ao contrário, assumiremos ao longo deste capítulo que a matriz dos coeficientes $A$ é uma matriz real não singular (isto é, invertível).

Exemplo 4.0.1. Consideramos o seguinte sistema linear