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Cálculo Numérico - Versão Python

Capítulo 7
Ajuste de curvas


Neste capítulo, abordamos os problemas de ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados. Mais precisamente, dado um conjunto de N pontos (xj,yj) 2 j=1N e uma família de funções F = {f : ; y = f(x)}, o problema de ajuste de curvas consiste em encontrar uma função da família F que melhor se ajusta aos pontos dados, não necessariamente que os interpola.


PIC

Figura 7.1: Exemplo de um problema de ajuste de uma reta entre três pontos, veja o Exemplo 7.0.1.


Aqui, o termo “melhor se ajusta” é entendido no sentido de mínimos quadrados, isto é, buscamos encontrar uma função f F tal que f(x) resolve o seguinte problema de minimização

min fF j=1N f(x j) - yj 2, (7.1)

ou seja, f(x) é a função da família F cujo erro quadrático entre yj e f(xj), j = 1, 2,,N, é mínimo. A expressão

R := j=1N f(x j) - yj 2 = f(x1) - y1 2 + f(x 2) - y2 2 + + f(x N) - yN 2 (7.2)

é chamada de resíduo e consiste na soma dos quadrados das diferenças entre a ordenadas yj e o valor da função procurada f(xj).

Exemplo 7.0.1. Dado o conjunto de pontos {(1, 1,2), (1,5, 1,3), (2, 2,3)} e a família de retas f(x) = a + bx, podemos mostrar que f(x) = -0,05 + 1,1x é a reta que melhor aproxima os pontos dados no sentido de mínimos quadrados. Os pontos e a reta ajustada e são esboçados na Figura 7.1.

Na sequência, discutimos o procedimento de ajuste de uma reta, então, mostramos a generalização da técnica para problemas lineares de ajuste e, por fim, discutimos alguns problemas de ajuste não lineares.

Ao longo deste capítulo, assumiremos que as seguintes bibliotecas e módulos Python estão carregadas:

>>> from __future__ import division  
>>> import numpy as np  
>>> from numpy import linalg  
>>> import matplotlib.pyplot as plt

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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