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Cálculo Numérico - Versão Python

9.9 Exercícios finais


E 9.9.1. Considere o problema de calcular numericamente a integral I =-11f(x)dx quando f(x) = cos(x) |x| .

a)
O que acontece quando se aplica diretamente a quadratura gaussiana com um número impar de abscissas?
b)
Calcule o valor aproximado por quadratura gaussiana com n = 2, n = 4, n = 6 e n = 8.
c)
Calcule o valor aproximado da integral removendo a singularidade I = -11 cos(x) |x| dx =-11 cos(x) - 1 |x| dx +-11 1 |x|dx (9.224) = -11 cos(x) - 1 |x| dx + 201 1 xdx =-11 cos(x) - 1 |x| dx + 4 (9.225)

e aplicando quadratura gaussiana com n = 2, n = 4, n = 6 e n = 8.

d)
Calcule o valor aproximado da integral removendo a singularidade, considerando a paridade da função I = 4 +-11 cos(x) - 1 |x| dx = 4 + 201 cos(x) - 1 x dx = 4 + 2-11 cos 1+u 2 - 1 1 + u du (9.226)

e aplicando quadratura gaussiana com n = 2, n = 4, n = 6 e n = 8.

e)
Expandindo a função cos(x) em série de Taylor, truncando a série depois do n-ésimo termos não nulo e integrando analiticamente.
f)
Aproximando a função cos(x) pelo polinômio de Taylor de grau 4 dado por
P4(x) = 1 - x2 2 + x4 24 (9.227)

e escrevendo I = -11 cos(x) |x| dx =-11 cos(x) - P4(x) |x| dx +-11P4(x) |x| dx (9.228) = 2 01 cos(x) - P4(x) x dxResolver numericamente + 2 01 x-12 - x32 2 + x72 24 dxResolver analiticamente (9.229)

Resposta.







n b c d e f






2 2.205508 3.5733599 3.6191866 3.6185185 3.618146






4 2.5973554 3.6107456 3.6181465 3.6180970 3.6180970






6 2.7732372 3.6153069 3.6181044 3.6180970 3.6180970






8 2.880694 3.6166953 3.6180989 3.6180970 3.6180970






Solução do item e: Como

cos(x) = 1 + n=1(-1)n x2n (2n)! (9.230)

temos

1 - cos(x) x = - n=1(-1)nx2n-12 (2n)! ,x 0 (9.231)

Logo, podemos integrar I = 4 + 201 cos(x) - 1 |x| dx = 4 - 2 n=1(-1)n01x2n-12 (2n)! dx (9.232) = 4 - 2 n=1(-1)n 1 (2n)!(2n + 12) (9.233)

Solução do item f) 201 x-12 - x32 2 + x72 24 dx = 2 2 - 1 5 + 1 54 = 977 270 (9.234)

201 cos(x) - P4(x) x dx = 2-11 cos 1+u 2 - P4 1+u 2 1 + u du (9.235)

E 9.9.2. Calcule numericamente o valor das seguintes integrais com um erro relativo inferior a 10-4.

a)
01 sen (πx) x dx
b)
01 sen (πx) x(1 - x)dx
c)
01 sen π 2 x x(1 - x)dx
d)
01 ln(x) cos(x)dx

E 9.9.3. Calcule as integrais 01 ex |x|14dx e 01 e-x |x|45dx usando procedimentos analíticos e numéricos.

E 9.9.4. Use a técnica de integração por partes para obter a seguinte identidade envolvendo integrais impróprias:

I =0 cos(x) 1 + x dx =0 sen (x) (1 + x)2dx. (9.236)

Aplique as técnicas estudadas para aproximar o valor de I e explique por que a integral da direita é mais bem comportada.

E 9.9.5. Resolva a equação

x +0xe-y2 dy = 5 (9.237)

com 5 dígitos significativos.

Resposta. 4,1138

E 9.9.6. (Ciência dos materiais) O calor específico (molar) de um sólido pode ser aproximado pela teoria de Debye usando a seguinte expressão

CV = 9NkB T TD 30TDT y4ey (ey - 1)2dy (9.238)

onde N é a constante de Avogrado dado por N = 6,022 × 1023 e kB é a constante de Boltzmann dada por kB = 1,38 × 10-23. TD é temperatura de Debye do sólido.

a)
Calcule o calor específico do ferro em quando T = 200K, T = 300K e T = 400K supondo TD = 470K.
b)
Calcule a temperatura de Debye de um sólido cujo calor específico a temperatura de 300K é 24JKmol. Dica: aproxime a integral por um esquema numérico com um número fixo de pontos.
c)
Melhore sua cultura geral: A lei de Dulong-Petit para o calor específico dos sólidos precede a teoria de Debye. Verifique que a equação de Debye é consistente com Dulong-Petit, ou seja:
lim TCv = 3NkB. (9.239)

Dica: use ey 1 + y quando y 0

Resposta. a) 19,2; 22,1; 23,3; b) 513,67K

E 9.9.7. Explique por quê quando um método simples tem estimativa de erro de truncamento local de ordem hn, então o método composto associado tem estimativa de erro de ordem hn-1.

E 9.9.8. Encontre os pesos w1 e w2 e as abcissas x1 e x2 tais que

-11f(x) = w 1f(x1) + w2f(x2) (9.240)

quando f(x) = xk,k = 0,1,2,3, isto é, o método que apresente máxima ordem de exatidão possível com dois pontos.

Use esse método para avaliar o valor da integral das seguintes integrais e compare com os valores obtidos para Simpson e trapézio, bem como com o valor exato.

a)
-11 2 + x - 5x2 + x3 dx
b)
-11exdx
c)
-11 dx x2 + 1

Resposta. -11f(x)dx = f -3 3 + f 3 3

E 9.9.9. Encontre os pesos w1, w2 e w3 tal que o método de integração

-11f(x)dx w 1f -3 3 + w2f(0) + w3f 3 3 (9.241)

tenha ordem de exatidão máxima. Qual é ordem obtida?

Resposta. w1 = w3 = 1 e w2 = 0 com ordem 3.

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