E 9.9.1. Considere o problema de calcular numericamente a integral $I={\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^{1}f\left(x\right)dx$ quando $f\left(x\right)=\frac{cos\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}$.

a)

O que acontece quando se aplica diretamente a quadratura gaussiana com um número impar de abscissas?

b)

Calcule o valor aproximado por quadratura gaussiana com $n=2$, $n=4$, $n=6$ e $n=8$.

c)

Calcule o valor aproximado da integral removendo a singularidade $$\begin{array}{rcll}I& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}dx={\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)-1}{\sqrt{\left|x\right|}}dx+{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}}dx& \text{(9.224)}\\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)-1}{\sqrt{\left|x\right|}}dx+2{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx={\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)-1}{\sqrt{\left|x\right|}}dx+4& \text{(9.225)}\end{array}$$

e aplicando quadratura gaussiana com $n=2$, $n=4$, $n=6$ e $n=8$.

d)

Calcule o valor aproximado da integral removendo a singularidade, considerando a paridade da função $$\begin{array}{rcll}I& =& 4+{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)-1}{\sqrt{\left|x\right|}}dx=4+2{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{cos\left(x\right)-1}{\sqrt{x}}dx=4+\sqrt{2}{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(\frac{1+u}{2}\right)-1}{\sqrt{1+u}}du& \text{(9.226)}\end{array}$$

e aplicando quadratura gaussiana com $n=2$, $n=4$, $n=6$ e $n=8$.

e)

Expandindo a função $cos\left(x\right)$ em série de Taylor, truncando a série depois do $n$-ésimo termos não nulo e integrando analiticamente.

f)

Aproximando a função $cos\left(x\right)$ pelo polinômio de Taylor de grau 4 dado por

$$P_4\left(x\right)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$

(9.227)

e escrevendo $$\begin{array}{rcll}I& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}dx={\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{cos\left(x\right)-P_4\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}dx+{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{P_4\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}dx& \text{(9.228)}\\ & =& 2\underset{\text{Resolver numericamente}}{\underbrace{{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{cos\left(x\right)-P_4\left(x\right)}{\sqrt{x}}dx}}+2\underset{\text{Resolver analiticamente}}{\underbrace{{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left(x^{-1∕2}-\frac{x^{3∕2}}{2}+\frac{x^{7∕2}}{24}\right)dx}}& \text{(9.229)}\end{array}$$

E 9.9.2. Calcule numericamente o valor das seguintes integrais com um erro relativo inferior a $10^{-4}$.

a)

${\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{sen\left(\pi x\right)}{x}dx$

b)

${\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{sen\left(\pi x\right)}{x\left(1-x\right)}dx$

c)

${\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{sen\left(\frac{\pi }{2}x\right)}{\sqrt{x\left(1-x\right)}}dx$

d)

${\int \; <!--nolimits-->}_0^{1}ln\left(x\right)cos\left(x\right)dx$

E 9.9.3. Calcule as integrais ${\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{e^x}{|x{|}^{1∕4}}dx$ e ${\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{e^{-x}}{|x{|}^{4∕5}}dx$ usando procedimentos analíticos e numéricos.

E 9.9.4. Use a técnica de integração por partes para obter a seguinte identidade envolvendo integrais impróprias:

Aplique as técnicas estudadas para aproximar o valor de I e explique por que a integral da direita é mais bem comportada.

E 9.9.5. Resolva a equação

com 5 dígitos significativos.

E 9.9.6. (Ciência dos materiais) O calor específico (molar) de um sólido pode ser aproximado pela teoria de Debye usando a seguinte expressão

onde $N$ é a constante de Avogrado dado por $N=6,022\times 10^{23}$ e $k_B$ é a constante de Boltzmann dada por $k_B=1,38\times 10^{-23}$. $T_D$ é temperatura de Debye do sólido.

a)

Calcule o calor específico do ferro em quando $T=200K$, $T=300K$ e $T=400K$ supondo $T_D=470K$.

b)

Calcule a temperatura de Debye de um sólido cujo calor específico a temperatura de $300K$ é $24J∕K∕mol$. Dica: aproxime a integral por um esquema numérico com um número fixo de pontos.

c)

Melhore sua cultura geral: A lei de Dulong-Petit para o calor específico dos sólidos precede a teoria de Debye. Verifique que a equação de Debye é consistente com Dulong-Petit, ou seja:

$$\underset{T\to \infty }{lim}{C}_v=3N{k}_B.$$

(9.239)

Dica: use $e^y\approx 1+y$ quando $y\approx 0$

E 9.9.7. Explique por quê quando um método simples tem estimativa de erro de truncamento local de ordem $h^n$, então o método composto associado tem estimativa de erro de ordem $h^{n-1}$.

E 9.9.8. Encontre os pesos $w_1$ e $w_2$ e as abcissas $x_1$ e $x_2$ tais que

quando $f\left(x\right)=x^k,k=0,1,2,3$, isto é, o método que apresente máxima ordem de exatidão possível com dois pontos.

Use esse método para avaliar o valor da integral das seguintes integrais e compare com os valores obtidos para Simpson e trapézio, bem como com o valor exato.

a)

${\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\left(2+x-5x^2+x^3\right)dx$

b)

${\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1{e}^{x}dx$

c)

${\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$

E 9.9.9. Encontre os pesos $w_1$, $w_2$ e $w_3$ tal que o método de integração

tenha ordem de exatidão máxima. Qual é ordem obtida?