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Cálculo Numérico - Versão Python

9.8 Integrais impróprias


A aplicação de quadraturas numéricas para integrais impróprias geralmente demanda alguns cuidados adicionais. Aqui, abordaremos apenas alguns aspectos, começando por integrandos com singularidade no intervalo de integração.

9.8.1 Integrandos com singularidade do tipo 1(x - a)n


Consideremos a integral imprópria3

ab f(x) (x - a)pdx,0 < p < 1, (9.213)

Observamos, que para uma tal integral, não é possível aplicar, diretamente, as regras do trapézio e de Simpson. Alternativamente, podemos aplicar a regra do ponto médio e quadraturas gaussianas, por exemplo. Entretanto, aplicações diretas de tais quadraturas fornecem resultados pouco precisos (veja o Exemplo 9.8.1).

Exemplo 9.8.1. Aplicando as regras compostas do ponto médio e quadratura gaussiana com dois pontos à integral

01 e-x x12dx (9.214)

obtemos os seguintes resultados (n número de subintervalos):





n h Ponto Médio G-L(2)




1 1 0,8577 1,1363
10 10-1 1,3007 1,3829
102 10-2 1,4331 1,4587
103 10-3 1,4745 1,4826
104 10-4 1,4876 1,4902




No Python, podemos computar os valores apresentados na tabela acima da seguinte forma:

def f(x):  
    return np.exp(-x)/np.sqrt(x)  
def F(u):  
    return (x[i+1]-x[i])/2*f((x[i+1]-x[i])/2*(u+1)+x[i])  
 
a = 0  
b = 1  
n = 10  
h = (b-a)/n  
x = np.linspace(a,b,n+1)  
 
#regra do ponto medio  
s_med = 0;  
for i in range(n):  
    s_med += f((x[i]+x[i+1])/2)*h  
 
#quadratura gaussiana (2 pontos)  
s_gl=0  
for i in range(n):  
   s_gl += F(np.sqrt(3)/3) + F(-np.sqrt(3)/3)  
 
print(’’’Para {} subintervalos tem-se:  
\tPonto medio =~ {:.4e} e  
\tquadratura gaussiada (2 pontos) =~ {:.4e}’’’.format(n, s_med, s_gl))

Uma estratégia para se computar uma tal integral imprópria

I =ab f(x) (x - a)pdx (9.215)

é reescrevê-la da forma

I = abf(x) - p(x) (x - a)n dxI1 + ab p(x) (x - a)ndxI2 (9.216)

onde p(x) é escolhida de forma que a singularidade esteja presente somente em I2 e esta possa ser calculada de forma analítica, restando computar I1 numericamente. Isto pode ser feito, escolhendo p(x) como a expansão em polinômio de Taylor da função f(x) em torno do ponto x = a, i.e.

p(x) = f(a) + f(a)(x - a) + f(a) 2! (x - a)2 + + f(m)(a) m! (x - a)m (9.217)

Com esta escolha, o integrando de I1 passa a ter uma singularidade removível

lim xaf(x) - p(x) (x - a)p = 0. (9.218)

e pode ser computada numericamente. A integral I2 pode ser calculada analiticamente, de fato

ab p(x) (x - a)pdx = f(a) 1!(1 - p)(x - a)1-p + + f(m)(a) m!(m - p)(x - a)m-p ab. (9.219)

Exemplo 9.8.2. Consideremos a integral imprópria

I =01e-x xdx. (9.220)

Computando o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x) = e-x em torno de x = 0, obtemos

p(x) = 1 - x + x2 2 - x3 3 + x4 4 . (9.221)

Então, escrevemos

I = 01e-x - p(x) x dxI1 + 01p(x) x dxI2. (9.222)

Calculando I2 analiticamente, temos

I2 =01p(x) x dx = 2x12 - 2 3x32 + 2 10x(52) - 2 42x72 + 2 216x92 01 = 2 - 2 3 + 2 10 - 2 42 + 2 216 = 1,4950. (9.223)

Agora, computamos a integral I1 numericamente usando a regra composta do ponto médio. A seguinte tabela apresenta os resultados para as aproximações obtidas para I1 e consequentemente para I = I1 + I2:





n h I2 I




1 1 - 3,39657E -4 1,49463
10 10-1 - 1,31240E -3 1,49366
102 10-2 - 1,32515E -3 1,49365
103 10-3 - 1,32528E -3 1,49365




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