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Cálculo Numérico - Versão Python

9.3 Obtenção das regras de quadratura


Na seção anterior, obtivemos as regras de quadraturas pela aproximação do integrando por polinômios interpoladores de Lagrange. Aqui, veremos um outro método para obter regras de quadratura, que torna-se bastante útil para quando temos muitos pontos ou quando o intervalo entre os pontos não é uniforme.

Dados n pontos [t1,t2,,tn], queremos obter uma aproximação para

abf(t)dt w 1f(t1) + w2f(t2) + + wnf(tn) (9.92)

que seja exata para polinômios2 até ordem n - 1.

Aproxime f(t) pelo polinômio p(t) = w1ϕ1(t) + + wnϕn(t) de ordem n - 1. Escolha uma base, como por exemplo ϕk(t) = tk-1. Como a regra de quadratura deve ser exata para qualquer polinômio até ordem n - 1, então também deve ser exata para qualquer função da base. Substituindo f(t) por ϕ1(t) = 1 em (9.92). obtemos: abϕ 1(t)dt = t|ab = w 1ϕ1(t1) + w2ϕ1(t2) + + wnϕ1(tn) (9.93) b - a = w1 + w2 + + wn. (9.94)

Da mesma forma para ϕk(t), k = 2,,n, obtemos: (t22)| ab = b2 - a2 2 = w1t1 + w2t2 + + wntn (9.95) (t33)| ab = b3 - a3 3 = w1t12 + w 2t22 + + w ntn2 (9.96) (9.97) bn - an n = w1t1n-1 + w 2t2n-1 + + w ntnn-1, (9.98)

que pode ser escrito na forma matricial a seguir:

1 1 1 t 1 t2 tn t12 t 22 t n2 t1n-1 t 2n-1 t nn-1 w1 w2 w3 w n = b - a b2-a2 2 b3-a3 3 bn-an n . (9.99)

Resolvendo o sistema, obtemos os coeficientes wk para a regra de integração.

Exemplo 9.3.1. Seja n = 3, [a,b] = [0,h], onde (t1,t2,t3) = (0,h2,h). Obtenha uma regra de integração para aproximar abf(t)dt.

Solução. A regra terá a forma abf(t)dt w 1f(t1) + w2f(t2) + w3f(t3) (9.100) w1y1 + w2y2 + w3y3. (9.101)

Considere a base polinomial [ϕ1(t),ϕ2(t),ϕ3(t)] = [1,t,t2] e substitua f(t) por ϕk(t) obtendo 0h1dt = h = w 1(1) + w2(1) + w3(1) (9.102) 0htdt = h22 = w 1(0) + w2(h2) + w3(h) (9.103) 0ht2dt = h33 = w 1(0)2 + w 2(h2)2 + w 3(h)2 (9.104)

que pode ser escrito na forma matricial

1 1 1 0 h2 h 0 h24 h2 w1 w2 w3 = h h22 h33 (9.105)

Note que podemos simplificar h tal que o sistema fique

1 1 1 0 12 1 0 14 1 w1 w2 w3 = h 1 12 13 (9.106)

Resolvendo o sistema, obtemos (w1,w2,w3) = h 1 6, 4 6, 1 6, o que fornece a regra de Simpson:

0hf(t)dt h 6f(0) + 4h 6 f(h2) + h 6f(h). (9.107)

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Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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