9.3 Obtenção das regras de quadratura

---

Na seção anterior, obtivemos as regras de quadraturas pela aproximação do integrando por polinômios interpoladores de Lagrange. Aqui, veremos um outro método para obter regras de quadratura, que torna-se bastante útil para quando temos muitos pontos ou quando o intervalo entre os pontos não é uniforme.

Dados $n$ pontos $\left[t_1,t_2,\dots ,t_n\right]$, queremos obter uma aproximação para

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(t\right)dt\approx w_{1}f\left(t_1\right)+w_{2}f\left(t_2\right)+\dots +w_{n}f\left(t_n\right)$$

(9.92)

que seja exata para polinômios² até ordem $n-1$.

Aproxime $f\left(t\right)$ pelo polinômio $p\left(t\right)=w_1{\varphi }_1\left(t\right)+\dots +w_n{\varphi }_n\left(t\right)$ de ordem $n-1$. Escolha uma base, como por exemplo ${\varphi }_k\left(t\right)=t^{k-1}$. Como a regra de quadratura deve ser exata para qualquer polinômio até ordem $n-1$, então também deve ser exata para qualquer função da base. Substituindo $f\left(t\right)$ por ${\varphi }_1\left(t\right)=1$ em (9.92). obtemos: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^b{\varphi }_1\left(t\right)dt=t{|}_a^b& =& w_1{\varphi }_1\left(t_1\right)+w_2{\varphi }_1\left(t_2\right)+\dots +w_n{\varphi }_1\left(t_n\right)& \text{(9.93)}\\ b-a& =& w_1+w_2+\dots +w_n.& \text{(9.94)}\end{array}$$

Da mesma forma para ${\varphi }_k\left(t\right)$, $k=2,\dots ,n$, obtemos: $$\begin{array}{rcll}\left(t^2∕2\right){|}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2}& =& w_1{t}_1+w_2{t}_2+\dots +w_n{t}_n& \text{(9.95)}\\ \left(t^3∕3\right){|}_a^b=\frac{b^3-a^3}{3}& =& w_1{t}_1^2+w_2{t}_2^2+\dots +w_n{t}_n^2& \text{(9.96)}\\ & ⋮& & \text{(9.97)}\\ \frac{b^n-a^n}{n}& =& w_1{t}_1^{n-1}+w_2{t}_2^{n-1}+\dots +w_n{t}_n^{n-1},& \text{(9.98)}\end{array}$$

que pode ser escrito na forma matricial a seguir:

$$\left[\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill t_1\hfill & \hfill t_2\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill t_n\hfill \\ \hfill t_1^2\hfill & \hfill t_2^2\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill t_n^2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill t_1^{n-1}\hfill & \hfill t_2^{n-1}\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill t_n^{n-1}\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill w_1\hfill \\ \hfill w_2\hfill \\ \hfill w_3\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill w_n\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill b-a\hfill \\ \hfill \frac{b^2-a^2}{2}\hfill \\ \hfill \frac{b^3-a^3}{3}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \frac{b^n-a^n}{n}\hfill \end{array}\right].$$

(9.99)

Resolvendo o sistema, obtemos os coeficientes $w_k$ para a regra de integração.

Solução. A regra terá a forma $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(t\right)dt& \approx & w_{1}f\left(t_1\right)+w_{2}f\left(t_2\right)+w_{3}f\left(t_3\right)& \text{(9.100)}\\ & \approx & w_1{y}_1+w_2{y}_2+w_3{y}_3.& \text{(9.101)}\end{array}$$

Considere a base polinomial $\left[{\varphi }_1\left(t\right),{\varphi }_2\left(t\right),{\varphi }_3\left(t\right)\right]=\left[1,t,t^2\right]$ e substitua $f\left(t\right)$ por ${\varphi }_k\left(t\right)$ obtendo $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{h}1dt=h& =& w_1\left(1\right)+w_2\left(1\right)+w_3\left(1\right)& \text{(9.102)}\\ {\int \; <!--nolimits-->}_0^{h}tdt=h^2∕2& =& w_1\left(0\right)+w_2\left(h∕2\right)+w_3\left(h\right)& \text{(9.103)}\\ {\int \; <!--nolimits-->}_0^h{t}^{2}dt=h^3∕3& =& w_1{\left(0\right)}^2+w_2{\left(h∕2\right)}^2+w_3{\left(h\right)}^2& \text{(9.104)}\end{array}$$

que pode ser escrito na forma matricial

$$\left[\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill h∕2\hfill & \hfill h\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill h^2∕4\hfill & \hfill h^2\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill w_1\hfill \\ \hfill w_2\hfill \\ \hfill w_3\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill h\hfill \\ \hfill h^2∕2\hfill \\ \hfill h^3∕3\hfill \end{array}\right]$$

(9.105)

Note que podemos simplificar $h$ tal que o sistema fique

$$\left[\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1∕2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1∕4\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill w_1\hfill \\ \hfill w_2\hfill \\ \hfill w_3\hfill \end{array}\right]=h\left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1∕2\hfill \\ \hfill 1∕3\hfill \end{array}\right]$$

(9.106)

Resolvendo o sistema, obtemos $\left(w_1,w_2,w_3\right)=h\left(\frac{1}{6},\frac{4}{6},\frac{1}{6}\right)$, o que fornece a regra de Simpson:

$${\int \; <!--nolimits-->}_0^{h}f\left(t\right)dt\approx \frac{h}{6}f\left(0\right)+\frac{4h}{6}f\left(h∕2\right)+\frac{h}{6}f\left(h\right).$$

(9.107)

Exercícios resolvidos

---

Exercícios

---