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Cálculo Numérico - Versão Python

9.6 Ordem de precisão


Todos os métodos de quadratura que vimos até o momento são da forma

abf(x)dx j=1Nw jf(xj) (9.157)

Exemplo 9.6.1.

a)
Método do trapézio abf(x)dx f(a) + f(b) b - a 2 (9.158) = b - a 2 f(a) + b - a 2 f(b) (9.159) := w1f(x1) + w2f(x2) = j=12w jf(xj) (9.160)

b)
Método do trapézio com dois intervalos abf(x)dx f(a) + 2f a + b 2 + f(b) b - a 4 (9.161) = b - a 4 f(a) + b - a 2 f a + b 2 + b - a 4 f(b) (9.162) := w1f(x1) + w2f(x2) + w3f(x3) = j=13w jf(xj) (9.163)

c)
Método de Simpson abf(x)dx f(a) + 4f a + b 2 + f(b) b - a 6 (9.164) = b - a 6 f(a) + 2(b - a) 3 f a + b 2 + b - a 6 f(b) (9.165) := j=13w jf(xj) (9.166)

d)
Método de Simpson com dois intervalos abf(x)dx f(a) + 4f 3a + b 4 + 2f a + b 2 (9.167) + 4f a + 3b 4 + f(b) b - a 12 (9.168) = b - a 12 f(a) + b - a 3 f 3a + b 4 + b - a 6 f a + b 2 (9.169) + b - a 3 f a + 3b 4 + b - a 12 f(b) (9.170) := j=15w jf(xj) (9.171)

A principal técnica que temos usado para desenvolver os métodos numéricos é o polinômio de Taylor:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + a nxn + R n(x) (9.172)

Integrando termo a termo, temos: abf(x)dx = aba 0dx +aba 1xdx +aba 2x2dx + + (9.173) aba nxndx +abR n(x)dx (9.174) = a0(b - a) + a1b2 - a2 2 + a2b3 - a3 3 + + (9.175) anbn+1 - an+1 n + 1 +abR n(x)dx (9.176)

Neste momento, é natural investigar o desempenho de um esquema numérico aplicado a funções do tipo f(x) = xn.

Definição 9.6.1. A ordem de precisão ou ordem de exatidão de um esquema de quadratura numérica é definida como o maior inteiro positivo n para o qual o esquema é exato para todas as funções do tipo xk com 0 k n, ou seja, um esquema é dito de ordem n se

j=1nw jf(xj) =abf(x)dx,f(x) = xk,k = 0,1,n (9.177)

ou, equivalentemente:

j=1nw jxjk =abxkdx = bk+1 - ak+1 k + 1 ,k = 0,1,n (9.178)

Observação 9.6.1. Se o método tem ordem 0 ou mais, então

j=1nw j = b - a (9.179)

Exemplo 9.6.2. A ordem de precisão do esquema de trapézios é 1:

abf(x)dx f(a) + f(b) b - a 2 = j=12w jf(xj) (9.180)

onde wj = b-a 2 , x1 = a e x2 = b. (k = 0) : j=1nw j = b - a (9.181) (k = 1) : j=1nw jxj = (a + b)b-a 2 = b2-a2 2 (9.182) (k = 2) : j=1nw jxj2 = (a2 + b2)b-a 2 b3-a3 3 (9.183)

Exemplo 9.6.3. A ordem de precisão do esquema de Simpson é 3:

abf(x)dx f(a) + 4f a + b 2 + f(b) b - a 6 = j=13w jf(xj) (9.184)

onde w1 = w3 = b-a 6 , w2 = 4b-a 6 , x1 = a, x2 = a+b 2 e x3 = b (k = 0) : j=1nw j = (1 + 4 + 1)b-a 6 = b - a (9.185) (k = 1) : j=1nw jxj = (a + 4a+b 2 + b)b-a 6 = (a + b)b-a 2 = b2-a2 2 (9.186) (k = 2) : j=1nw jxj2 = (a2 + 4 a+b 2 2 + b2)b-a 6 = b3-a3 3 (9.187) (k = 3) : j=1nw jxj3 = (a3 + 4 a+b 2 3 + b3)b-a 6 = b4-a4 4 (9.188) (k = 4) : j=1nw jxj4 = (a4 + 4 a+b 2 4 + b4)b-a 6 b5-a5 4 (9.189)

Exemplo 9.6.4. Encontre os pesos wj e as abscissas xj tais que o esquema de dois pontos

-11f(x)dx = w 1f(x1) + w2f(x2) (9.190)

é de ordem 3.

Solução. Temos um sistema de quatro equações e quatro incógnitas dado por: w1 + w2 = 2 (9.191) x1w1 + x2w2 = 0 (9.192) x12w 1 + x22w 2 = 2 3 (9.193) x13w 1 + x23w 2 = 0 (9.194) (9.195)

Da segunda e quarta equação, temos:

w1 w2 = -x2 x1 = -x23 x13 (9.196)

Como x1x2, temos x1 = -x2 e w1 = w2. Da primeira equação, temos w1 = w2 = 1. Da terceira equação, temos - x1 = x2 = 3 3 .

Esse esquema de ordem de precisão três e dois pontos chama-se quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos:

-11f(x)dx = f 3 3 + f -3 3 (9.197)

Exemplo 9.6.5. Comparação






f(x) Exato Trapézio Simpson Gauss-Legendre (2)





ex e -e-1 2,35040 e-1 + e 3,08616 e-1 + 4e0 + e1 3 2,36205 e--3 3 + e3 3 2,34270





x23 + x3 16 9 - 4 92 1,14924 3,41421 1,13807 1,15411





x2ex3 e-e-1 3 0,78347 3,08616 1,02872 0,67905





Exercícios


E 9.6.1. Encontre os pesos w1, w2 e w3 tais que o esquema de quadratura dado por

01f(x)dx w 1f(0) + w2f(12) + w3f(1) (9.198)

apresente máxima ordem de exatidão. Qual a ordem obtida?

Resposta.

w1 = 16, w2 = 23, w3 = 16. O esquema construído é o de Simpson e a ordem de exatidão é 3.

E 9.6.2. Encontre a ordem de exatidão do seguinte método de integração:

-11f(x)dx 2 3 f -2 2 + f(0) + f 2 2 (9.199)

Resposta. 3

E 9.6.3. Encontre a ordem de exatidão do seguinte método de integração:

-11f(x)dx = - 1 210f(-1)+136 105f(-12)- 62 105f(0)+136 105f(12)+ 1 210f(1) (9.200)

Resposta. 5

E 9.6.4. Encontre os pesos w1, w2 e w3 tal que o método de integração

01f(x)dx w 1f(13) + w2f(12) + w3f(23) (9.201)

tenha ordem de exatidão máxima. Qual é ordem obtida?

Resposta. 01f(x)dx 3 2f(13) - 2f(12) + 3 2f(23) com ordem 3.

E 9.6.5. Quantos pontos são envolvidos no esquema de quadratura R3,2? Qual a ordem do erro deste esquema de quadratura? Qual a ordem de exatidão desta quadratura?

Resposta. 5, 4, 3

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