Exemplo 9.6.1.

a)

Método do trapézio $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \approx & \left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]\frac{b-a}{2}& \text{(9.158)}\\ & =& \frac{b-a}{2}f\left(a\right)+\frac{b-a}{2}f\left(b\right)& \text{(9.159)}\\ & :=& w_{1}f\left(x_1\right)+w_{2}f\left(x_2\right)=\sum _{j=1}^2{w}_{j}f\left(x_j\right)& \text{(9.160)}\end{array}$$

b)

Método do trapézio com dois intervalos $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \approx & \left[f\left(a\right)+2f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]\frac{b-a}{4}& \text{(9.161)}\\ & =& \frac{b-a}{4}f\left(a\right)+\frac{b-a}{2}f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{b-a}{4}f\left(b\right)& \text{(9.162)}\\ & :=& w_{1}f\left(x_1\right)+w_{2}f\left(x_2\right)+w_{3}f\left(x_3\right)=\sum _{j=1}^3{w}_{j}f\left(x_j\right)& \text{(9.163)}\end{array}$$

c)

Método de Simpson $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \approx & \left[f\left(a\right)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]\frac{b-a}{6}& \text{(9.164)}\\ & =& \frac{b-a}{6}f\left(a\right)+\frac{2\left(b-a\right)}{3}f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{b-a}{6}f\left(b\right)& \text{(9.165)}\\ & :=& \sum _{j=1}^3{w}_{j}f\left(x_j\right)& \text{(9.166)}\end{array}$$

d)

Método de Simpson com dois intervalos $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \approx & \left[f\left(a\right)+4f\left(\frac{3a+b}{4}\right)+2f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right.& \text{(9.167)}\\ & +& \left.4f\left(\frac{a+3b}{4}\right)+f\left(b\right)\right]\frac{b-a}{12}& \text{(9.168)}\\ & =& \frac{b-a}{12}f\left(a\right)+\frac{b-a}{3}f\left(\frac{3a+b}{4}\right)+\frac{b-a}{6}f\left(\frac{a+b}{2}\right)& \text{(9.169)}\\ & +& \frac{b-a}{3}f\left(\frac{a+3b}{4}\right)+\frac{b-a}{12}f\left(b\right)& \text{(9.170)}\\ & :=& \sum _{j=1}^5{w}_{j}f\left(x_j\right)& \text{(9.171)}\end{array}$$

Definição 9.6.1. A ordem de precisão ou ordem de exatidão de um esquema de quadratura numérica é definida como o maior inteiro positivo n para o qual o esquema é exato para todas as funções do tipo $x^k$ com $0\le k\le n$, ou seja, um esquema é dito de ordem $n$ se

ou, equivalentemente:

Observação 9.6.1. Se o método tem ordem $0$ ou mais, então

Exemplo 9.6.2. A ordem de precisão do esquema de trapézios é 1:

onde $w_j=\frac{b-a}{2}$, $x_1=a$ e $x_2=b$. $$\begin{array}{rcll}& \left(k=0\right):\sum _{j=1}^n{w}_j=b-a& & \text{(9.181)}\\ & \left(k=1\right):\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j=\left(a+b\right)\frac{b-a}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}& & \text{(9.182)}\\ & \left(k=2\right):\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j^2=\left(a^2+b^2\right)\frac{b-a}{2}\ne \frac{b^3-a^3}{3}& & \text{(9.183)}\end{array}$$

Exemplo 9.6.3. A ordem de precisão do esquema de Simpson é 3:

onde $w_1=w_3=\frac{b-a}{6}$, $w_2=4\frac{b-a}{6}$, $x_1=a$, $x_2=\frac{a+b}{2}$ e $x_3=b$ $$\begin{array}{rcll}& \left(k=0\right):\sum _{j=1}^n{w}_j=\left(1+4+1\right)\frac{b-a}{6}=b-a& & \text{(9.185)}\\ & \left(k=1\right):\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j=\left(a+4\frac{a+b}{2}+b\right)\frac{b-a}{6}=\left(a+b\right)\frac{b-a}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}& & \text{(9.186)}\\ & \left(k=2\right):\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j^2=\left(a^2+4{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2+b^2\right)\frac{b-a}{6}=\frac{b^3-a^3}{3}& & \text{(9.187)}\\ & \left(k=3\right):\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j^3=\left(a^3+4{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^3+b^3\right)\frac{b-a}{6}=\frac{b^4-a^4}{4}& & \text{(9.188)}\\ & \left(k=4\right):\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j^4=\left(a^4+4{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^4+b^4\right)\frac{b-a}{6}\ne \frac{b^5-a^5}{4}& & \text{(9.189)}\end{array}$$

Exemplo 9.6.4. Encontre os pesos $w_j$ e as abscissas $x_j$ tais que o esquema de dois pontos

é de ordem 3.

Exemplo 9.6.5. Comparação

E 9.6.1. Encontre os pesos $w_1$, $w_2$ e $w_3$ tais que o esquema de quadratura dado por

apresente máxima ordem de exatidão. Qual a ordem obtida?

E 9.6.2. Encontre a ordem de exatidão do seguinte método de integração:

E 9.6.3. Encontre a ordem de exatidão do seguinte método de integração:

E 9.6.4. Encontre os pesos $w_1$, $w_2$ e $w_3$ tal que o método de integração

tenha ordem de exatidão máxima. Qual é ordem obtida?

E 9.6.5. Quantos pontos são envolvidos no esquema de quadratura $R_{3,2}$? Qual a ordem do erro deste esquema de quadratura? Qual a ordem de exatidão desta quadratura?