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Cálculo Numérico - Versão Python

9.5 Método de Romberg


O método de Romberg é um algoritmo projetado para construir quadraturas de alta ordem de forma iterativa a partir do método dos trapézios.

Considere o método de trapézios composto aplicado à integral

abf(x)dx. (9.128)

Defina I(h) a aproximação desta integral pelo método dos trapézios composto com malha de largura constante igual a h. Aqui h = b-a Ni para algum Ni inteiro, isto é:

I(h) = h 2 f(a) + 2 j=2Ni f(xj) + f(b) ,Ni = b - a h (9.129)

Teorema 9.5.1. Se f(x) é uma função analítica no intervalo (a,b), então a função I(h) admite uma representação na forma

I(h) = I0 + I2h2 + I 4h4 + I 6h6 + (9.130)

Para um demonstração, veja [4]. Em especial observamos que

abf(x)dx = lim h0I(h) = I0 (9.131)

Ou seja, o valor exato da integral procurada é dado pelo coeficiente I0.

A ideia central do método de Romberg, agora, consiste em usar a extrapolação de Richardson para construir métodos de maior ordem a partir do métodos dos trapézios para o intervalo (a,b)

Exemplo 9.5.1. Construção do método de quarta ordem. I(h) = I0 + I2h2 + I 4h4 + I 6h6 + (9.132) (9.133) I h 2 = I0 + I2h2 4 + I4h4 16 + I6h6 64 + (9.134) (9.135)

Usamos agora uma eliminação gaussiana para obter o termo I0: 4I(h2) - I(h) 3 = I0 - 1 4I4h4 - 5 16I6h6 + (9.136)

Vamos agora aplicar a fórmula para h = b - a, I(h) = h 2 f(a) + f(b) (9.137) I(h2) = h 4 f(a) + 2f c + f(b) ,c = a + b 2 . (9.138) (9.139)

4I(h2) - I(h) 3 = h 3 f(a) + 2f c + f(b) - h 6 f(a) + f(b) (9.140) = h 6 f(a) + 4f c + f(b) . (9.141)

Note que este esquema obtido coincide com o método de Simpson.

A partir de agora, a fim de deduzir o caso geral, utilizaremos a seguinte notação: R1,1 = I(h), (9.142) R2,1 = I(h2), (9.143) R3,1 = I(h4), (9.144) (9.145) Rn,1 = I(h2n-1). (9.146)

Observamos que os pontos envolvidos na quadratura Rk,1 são os mesmos pontos envolvidos na quadratura R(k - 1,1) acrescidos dos pontos centrais, assim, temos a seguinte fórmula de recorrência:

Rk,1 = 1 2Rk-1,1 + h 2k-1 i=12k-2 f a + (2i - 1) h 2k-1 (9.147)

Definimos Rk,2 para k 2 como o esquema de ordem quatro obtido da fórmula do Exemplo 9.5.1:

Rk,2 = 4Rk,1 - Rk-1,1 3 (9.148)

Os valores Rk,2 representam então os valores obtidos pelo método de Simpson composto aplicado a uma malha composta de 2k-1 + 1 pontos.

Similarmente os valores de Rk,j são os valores obtidos pela quadratura de ordem 2j obtida via extrapolação de Richardson. Pode-se mostrar que

Rk,j = Rk,j-1 + Rk,j-1 - Rk-1,j-1 4j-1 - 1 . (9.149)

Exemplo 9.5.2. Construa o esquema de Romberg para aproximar o valor de 02ex2dx com erro de ordem 8.

O que nos fornece os seguintes resultados:





55,59815 0,000000 0,000000 0,000000
30,517357 22,157092 0,000000 0,000000
20,644559 17,353626 17,033395 0,000000
17,565086 16,538595 16,484259 16,475543




Ou seja, temos:

02ex2 dx 16,475543 (9.150)

usando uma aproximação de ordem 8.

Exemplo 9.5.3. Construa o esquema de Romberg para aproximar o valor de 02x2ex2dx com erro de ordem 12.

O que nos fornece:







218,3926






111,91458 76,421909






66,791497 51,750469 50,105706






51,892538 46,926218 46,604601 46,549028






47,782846 46,412949 46,378731 46,375146 46,374464






46,72661 46,374531 46,37197 46,371863 46,37185 46,371847






Ou seja, temos:

02x2ex2 dx 46,371847 (9.151)

com uma aproximação de ordem 12.

Exercícios


E 9.5.1. Para cada integrando, encontre o função I(h) = a0 + a1h + a2h2 + a 3h3 + a 4h4 que melhor se ajusta aos dados, onde h = 1 n-1. Discuta os resultados com base no teorema envolvido na construção do método de Romberg.

Resposta.
a)I(h) = 4.4104110-1-8.4937210-12h-1.2210410-2h2-1.2237610-7h3+8.1429410-3h4 (9.152)
b)I(h) = 7.8539810-1-1.4629410-11h-4.1666710-2h2-2.1611010-7h3+4.6511710-6h4 (9.153)
c)I(h) = 1.5873010-3-9.6895810-10h+2.0331510-7h2-1.3869510-5h3+2.9726210-4h4 (9.154)
d)I(h) = 4.6191710-1+3.8322910-12h+2.5272110-2h2+5.4893510-8h3+5.2532610-4h4 (9.155)

E 9.5.2. Calcule os valores da quadratura de Romberg de R1,1 até R4,4 para 0π sen (x)dx. Não use rotinas prontas neste problema.





                           
















Resposta.





                    




1.5707963 2.0943951




1.8961189 2.0045598 1.9985707




1.9742316 2.0002692 1.9999831 2.0000055




E 9.5.3. Sem usar rotinas prontas, use o método de integração de Romberg para obter a aproximação R3,3 das seguintes integrais:

a)
01e-x2dx
b)
022 - cos (x)dx
c)
02 1 2-cos (x)dx

Resposta. a) 0.7468337; b) 2.4606311; c) 1.6595275.

E 9.5.4. Encontre uma expressão para R2,2 em termos de f(x) e verifique o método de Romberg R2,2 é equivalente ao método de Simpson.

E 9.5.5. Considere o problema de aproximar numericamente o valor de

0100 e1 2 cos(x) - 1 dx (9.156)

pelo método de Romberg. Usando rotinas prontas, faça o que se pede.

a)
Calcule R(6,k),k = 1,,6 e observe os valores obtidos.
b)
Calcule R(7,k),k = 1,,6 e observe os valores obtidos.
c)
Calcule R(8,k),k = 1,,6 e observe os valores obtidos.
d)
Discuta os resultados anteriores e proponha uma estratégia mais eficiente para calcular o valor da integral.

Resposta. R(6,6) = -10.772065, R(7,7) = 5.2677002, R(8,8) = 6.1884951, R(9,9) = 6.0554327, R(10,10) = 6.0574643. O valor desta integral com oito dígitos corretos é aproximado por 6.0574613.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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