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Cálculo Numérico - Versão Python

10.6 Erro de truncamento


Nas seções 10.2 e 10.3, construimos dois métodos numéricos para resolver problemas de valor inicial. No Exercício Resolvido 10.3.1, vimos que o erro do método de Euler de do método de Euler melhorado caem quando se reduz o passo h, ademais, o erro do método de Euler melhorado cai conforme o quadrado de h, enquando o do método de Euler cai conforme h2. Este fenômeno motiva a definção de ordem de precisão.

Definição 10.6.1. O erro de truncamento local é definido como o erro introduzido em cada passo pelo truncamento da equação diferencial supondo conhecida a solução exata no início do intervalo. Um método numérico é dito ter ordem de precisão p se o erro de truncamento local for da ordem de hp+1.

Exemplo 10.6.1. O método de Euler tem erro de truncamento local de ordem 1. Para obter este resultado, observamos via expansão de Taylor que:

u(t + h) = u(t) + hu(t) + h2 2 u(t) + O(h3). (10.123)

Se escolhermos nesta expressão t = t(n) e, portanto, t + h = t(n) + h = t(n+1), temos:

t(n+1) = t(n) + hu(t(n)) + h2 2 u(t(n)) + O(h3) (10.124)

Agora notamos que o termo principal do erro é dado por h2 2 u(t(n)), como a derivada segunda da solução não depende de h, o erro local de truncamento decresce conforme h2 e assim a ordem de precisão do método é 1.

Definição 10.6.2. O erro de truncamento global é definido como erro acumulado ao longo de todos os passo de resolução, supondo a condição inicial exata.

A relação entre o erro de truncamento global e o erro de truncamento local depende da função f(t,u) envolvida. Diante de suficiente regularidade, o erro acumulado é da mesma ordem de grande do erro de truncamento local acumulado ao longo do processo, isto é, pode ser estimado multiplicando o erro local pelo número de passos. Como o número de passos N necessários para calcular a solução de um problema de valor inicial no ponto t = tf é dado por N = tf h , temos que a erro de truncamento global é uma ordem inferior ao erro de truncamento local e equivale à ordem de precisão do método.

Usamos também a notação ETL para o erro de truncamento local e ETG para o erro de truncamento global. De forma que, para o método de Euler, temos:

ETLEuler = O(h2)eETG Euler = O(h). (10.125)

Exemplo 10.6.2. Vamos obter o erro de truncamento local do método de Euler melhorado. Partimos da construção do esquema iterativo de Euler melhorado: t(1)t(2) u(t)dt = t(1)t(2) f(t,u(t))dt (10.126) u(t(2)) - u(t(1)) = t(1)t(2) f(t,u(t))dt (10.127) u(t(2)) = u(t(1)) +t(1)t(2) f(t,u(t))dt (10.128)

Neste ponto, usamos o erro de truncamento do método de trapézios para aproximar a integral envolvida: t(1)t(2) f(t,u(t))dt = h 2 f t(1),u(t(1)) + f t(2),u(t(2)) + O(h3) (10.129)

Assim, temos que o erro de truncamento local do método de Euler melhorado é O(h3) e, portanto, um método de ordem 2.

Exercícios resolvidos


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Exercícios


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E 10.6.1. Aplique o método de Euler e o método de Euler melhorado para resolver o problema de valor inicial dado por u = -2u + u (10.130) u(0) = 1 (10.131)

com passo h = 10-1, h = 10-2, h = 10-3, h = 10-4 e h = 10-5 para obter aproximações para u(1). Compare com a solução exata dada do problema dada por u(t) = 1 + 2e-t + e-2t 4 através do erro relativo e observe a ordem de precisão do método.

Resposta.









h 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5








Euler 0,4495791 0,4660297 0,4675999 0,4677562 0,4677718








εrel 9,1e-03 8,9e-04 8,9e-05 8,9e-06 8,9e-07








Euler mod, 0,4686037 0,4677811 0,4677736 0,4677735 0,4677735








εrel 1,8e-03 1,6e-05 1,6e-07 1,6e-09 1,6e-11








A solução exata vale u(1) = 1+2e-1+e-2 4 = 1+e-1 2 2 0.467773541395.

E 10.6.2. Resolva o problema de valor inicial dado por u = cos(tu(t)) (10.132) u(0) = 1 (10.133) (10.134)

com passo h = 10-1, h = 10-2, h = 10-3, h = 10-4 e h = 10-5 para obter aproximações para u(2)

Resposta.









h 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5








Euler 1,1617930 1,1395726 1,1374484 1,1372369 1,1372157








Euler mod 1,1365230 1,1372075 1,1372133 1,1372134 1,1372134








Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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