Definição 10.6.1. O erro de truncamento local é definido como o erro introduzido em cada passo pelo truncamento da equação diferencial supondo conhecida a solução exata no início do intervalo. Um método numérico é dito ter ordem de precisão $p$ se o erro de truncamento local for da ordem de $h^{p+1}$.

Exemplo 10.6.1. O método de Euler tem erro de truncamento local de ordem $1$. Para obter este resultado, observamos via expansão de Taylor que:

Se escolhermos nesta expressão $t=t^{\left(n\right)}$ e, portanto, $t+h=t^{\left(n\right)}+h=t^{\left(n+1\right)}$, temos:

Agora notamos que o termo principal do erro é dado por $\frac{h^2}{2}{u}^{″}\left(t^{\left(n\right)}\right)$, como a derivada segunda da solução não depende de $h$, o erro local de truncamento decresce conforme $h^2$ e assim a ordem de precisão do método é 1.

Definição 10.6.2. O erro de truncamento global é definido como erro acumulado ao longo de todos os passo de resolução, supondo a condição inicial exata.

Exemplo 10.6.2. Vamos obter o erro de truncamento local do método de Euler melhorado. Partimos da construção do esquema iterativo de Euler melhorado: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}{u}^{\prime }\left(t\right)dt& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.126)}\\ u\left(t^{\left(2\right)}\right)-u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.127)}\\ u\left(t^{\left(2\right)}\right)& =& u\left(t^{\left(1\right)}\right)+{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.128)}\end{array}$$

Neste ponto, usamos o erro de truncamento do método de trapézios para aproximar a integral envolvida: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt=\frac{h}{2}\left[f\left(t^{\left(1\right)},u\left(t^{\left(1\right)}\right)\right)+f\left(t^{\left(2\right)},u\left(t^{\left(2\right)}\right)\right)\right]+O\left(h^3\right)& & & \text{(10.129)}\end{array}$$

Assim, temos que o erro de truncamento local do método de Euler melhorado é $O\left(h^3\right)$ e, portanto, um método de ordem 2.

E 10.6.1. Aplique o método de Euler e o método de Euler melhorado para resolver o problema de valor inicial dado por $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }& =& -2u+\sqrt{u}& \text{(10.130)}\\ u\left(0\right)& =& 1& \text{(10.131)}\end{array}$$

com passo $h=10^{-1}$, $h=10^{-2}$, $h=10^{-3}$, $h=10^{-4}$ e $h=10^{-5}$ para obter aproximações para $u\left(1\right)$. Compare com a solução exata dada do problema dada por $u\left(t\right)=\left(1+2e^{-t}+e^{-2t}\right)∕4$ através do erro relativo e observe a ordem de precisão do método.

E 10.6.2. Resolva o problema de valor inicial dado por $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }& =& cos\left(tu\left(t\right)\right)& \text{(10.132)}\\ u\left(0\right)& =& 1& \text{(10.133)}\\ & & & \text{(10.134)}\end{array}$$

com passo $h=10^{-1}$, $h=10^{-2}$, $h=10^{-3}$, $h=10^{-4}$ e $h=10^{-5}$ para obter aproximações para $u\left(2\right)$