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Cálculo Numérico - Versão Python

3.7 Exercícios finais


E 3.7.1. Calcule uma equação da reta tangente a curva y = e-(x-1)2 que passa pelo ponto (3, 12).

E 3.7.2. Resolva numericamente a inequação:

e-x2 < 2x (3.218)

Resposta.

x > a com a 0,4193648.

E 3.7.3. A equação

cos(πx) = e-2x (3.219)

tem infinitas raízes. Usando métodos numéricos encontre as primeiras raízes dessa equação. Verifique a j-ésima raiz (zj) pode ser aproximada por j - 12 para j grande. Use o método de Newton para encontrar uma aproximação melhor para zj.

Resposta.

z1 0.3252768, z2 1.5153738, z3 2.497846, z4 3.5002901, zj j - 12 - (-1)je-2j+1 π ,j > 4

E 3.7.4. (Eletricidade) A corrente elétrica, I, em Ampères em uma lâmpada em função da tensão elétrica, V , é dada por

I = V 150 0.8 (3.220)

Qual a potência da lâmpada quando ligada em série com uma resistência de valor R a uma fonte de 150V quando. (procure erro inferior a 1%)

  • R = 0Ω
  • R = 10Ω
  • R = 50Ω
  • R = 100Ω
  • R = 500Ω

Resposta.

150 W, 133 W, 87 W, 55 W, 6,5 W

E 3.7.5. (Bioquímica) A concentração sanguínea de um medicamente é modelado pela seguinte expressão

c(t) = Ate-λt (3.221)

onde t > 0 é o tempo em minutos decorrido desde a administração da droga. A é a quantidade administrada em mgml e λ é a constante de tempo em min-1. Responda:

  • Sendo λ = 13, em que instantes de tempo a concentração é metade do valor máximo. Calcule com precisão de segundos.
  • Sendo λ = 13 e A = 100mgml, durante quanto tempo a concentração permanece maior que 10mgml.

Resposta.

a) 42 s e 8 min2 s, b) 14 min56 s.

E 3.7.6. Considere o seguinte modelo para crescimento populacional em um país:

P(t) = A + Beλt. (3.222)

onde t é dado em anos. Use t em anos e t = 0 para 1960. Encontre os parâmetros A, B e λ com base nos anos de 1960, 1970 e 1991 conforme tabela:
 



Ano população


1960 70992343
1970 94508583
1980 121150573
1991 146917459


Use esses parâmetros para calcular a população em 1980 e compare com o valor do censo. Dica: considere P(31)-P(0) P(10)-P(0) e reduza o sistema a uma equação apenas na variável λ.

Resposta.

118940992

E 3.7.7. (Fluidos) Uma boia esférica flutua na água. Sabendo que a boia tem 10 de volume e 2Kg de massa. Calcule a altura da porção molhada da boia.

Resposta.

7,7 cm

E 3.7.8. (Fluidos) Uma boia cilíndrica tem secção transversal circular de raio 10cm e comprimento 2m e pesa 10Kg. Sabendo que a boia flutua sobre água com o eixo do cilindro na posição horizontal, calcule a altura da parte molhada da boia.

Resposta.

4,32 cm

E 3.7.9. Encontre com 6 casas decimais o ponto da curva y = ln x mais próximo da origem.

Resposta.

(0,652919, 0,426303)

E 3.7.10. (Matemática financeira) Um computador é vendido pelo valor a vista de R$2.000,00 ou em 1+15 prestações de R$200,00. Calcule a taxa de juros associada à venda a prazo.

Resposta.

7,19% ao mês

E 3.7.11. (Matemática financeira) O valor de R$110.000,00 é financiado conforme a seguinte programa de pagamentos:



Mês pagamento


1 20.000,00
2 20.000,00
3 20.000,00
4 19.000,00
5 18.000,00
6 17.000,00
7 16.000,00


Calcule a taxa de juros envolvida. A data do empréstimo é o mês zero.

Resposta.

4,54% ao mês.

E 3.7.12. (Controle de sistemas) Depois de acionado um sistema de aquecedores, a temperatura em um forno evolui conforme a seguinte equação

T(t) = 500 - 800e-t + 600e-t3. (3.223)

onde T é a temperatura em Kelvin e t é tempo em horas.

  • Obtenha analiticamente o valor de lim tT(t).
  • Obtenha analiticamente o valor máximo de T(t) e o instante de tempo quando o máximo acontece
  • Obtenha numericamente com precisão de minutos o tempo decorrido até que a temperatura passe pela primeira vez pelo valor de equilíbrio obtido no item a.
  • Obtenha numericamente com precisão de minutos a duração do período durante o qual a temperatura permanece pelo menos 20% superior ao valor de equilíbrio.

Resposta.

500 K, 700 K em t = 3 ln(2), 26 min, 4 h27 min.

E 3.7.13. Encontre os pontos onde a elipse que satisfaz x2 3 + y2 = 1 intersepta a parábola y = x2 - 2.

Resposta.

±1,1101388,-0,7675919, ±1,5602111, 0,342585

E 3.7.14. (Otimização) Encontre a área do maior retângulo que é possível inscrever entre a curva e-x2 1 + cos(x) e o eixo y = 0.

Resposta.

1,5318075

E 3.7.15. (Otimização)Uma indústria consome energia elétrica de duas usinas fornecedoras. O custo de fornecimento em reais por hora como função da potência consumida em kW é dada pelas seguintes funções C1(x) = 500 + .27x + 4.1 10-5x2 + 2.1 10-7x3 + 4.2 10-10x4 (3.224) C2(x) = 1000 + .22x + 6.3 10-5x2 + 8.5 10-7x3 (3.225)

Onde C1(x) e C2(x) são os custos de fornecimento das usinas 1 e 2, respectivamente. Calcule o custo mínimo da energia elétrica quando a potência total consumida é 1500kW. Obs: Para um problema envolvendo mais de duas usinas, veja 5.1.12.

Resposta.

Aproximadamente 2500 reais por hora.

E 3.7.16. (Termodinâmica) A pressão de saturação (em bar) de um dado hidrocarboneto pode ser modelada pela equação de Antoine:

ln Psat = A - B T + C (3.226)

onde T é a temperatura e A, B e C são constantes dadas conforme a seguir:





Hidrocarboneto A B C




N-pentano 9.2131 2477.07 -39.94




N-heptano 9.2535 2911.32 -56.51




  • Calcule a temperatura de bolha de uma mistura de N-pentano e N-heptano à pressão de 1.2bar quando as frações molares dos gases são z1 = z2 = 0.5. Para tal utilize a seguinte equação:
    P = iziPisat (3.227)
  • Calcule a temperatura de orvalho de uma mistura de N-pentano e N-heptano à pressão de 1.2bar quando as frações molares dos gases são z1 = z2 = 0.5. Para tal utilize a seguinte equação:
    1 P = i zi Pisat (3.228)

Resposta.

a) 332,74 K b) 359,33 K

E 3.7.17. Encontre os três primeiros pontos de mínimo da função

f(x) = e-x11 + x cos(2x) (3.229)

para x > 0 com erro inferior a 10-7.

Resposta.

1,2285751, 4,76770758, 7,88704085

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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