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Cálculo Numérico - Versão Python

3.6 Critérios de parada


Quando usamos métodos iterativos precisamos determinar um critério de parada. A Tabela 3.4 indica critérios de parada usuais para os métodos que estudamos neste capítulo.


Tabela 3.4: Quadro comparativo.




Método Convergência Erro Critério de parada




Bisseção
Linear
ϵn+1 = 1 2ϵ
bn -an 2 < erro
(p = 1)
Iteração Linear
ϵn+1 |ϕ(x*)|ε n
|Δn| 1- Δn Δn-1 < erro Δn < Δn-1
linear (p = 1)
Newton
Quadrática
ϵn+1 1 2 f(x*) f(x*)εn2
|Δn|< erro
(p = 2)
Secante
p = 5 + 1 2 1,618
εn+1 f(x*) f(x*)εnεn-1 Mεnϕ
|Δn|< erro





Observação 3.6.1. O erro na tabela sempre se refere ao erro absoluto esperado. Nos três últimos métodos, é comum que se exija como critério de parada que a condição seja satisfeita por alguns poucos passos consecutivos. Outros critérios podem ser usados. No métodos das secantes, deve-se ter o cuidado de evitar divisões por zero quando xn+1 - xn muito pequeno em relação à resolução do sistema de numeração.

Exercícios


E 3.6.1. Refaça as questões 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5 e 3.4.6, usando o método das secantes.

E 3.6.2. Dê uma interpretação geométrica ao método das secantes. Qual a vantagem do método das secantes sobre o método de Newton?

E 3.6.3. Aplique o método das secantes para resolver a equação

e-x2 = 2x (3.199)

E 3.6.4. Refaça o Problema 3.2.8 usando o método de Newton e das secantes.

E 3.6.5. Seja uma função f(x) dada duas vezes continuamente diferenciável. Faça uma análise assintótica para mostrar que as iterações do método das secantes satisfazem:

|x(n+1) - x*| C|x(n) - x*||x(n-1) - x*|, (3.200)

para aproximações iniciais x(1) e x(2) suficientemente próximas de x*, onde f(x*) = 0.

Resposta. Seja f(x) C2 um função tal que f(x*) = 0 e f(x*)0. Considere o processo iterativo do método das secantes:
x(n+1) = x(n) - f(x(n)) f(x(n)) - f(x(n-1))(x(n) - x(n-1)) (3.201)

Esta expressão pode ser escrita como: x(n+1) = x(n) - f(x(n))(x(n) - x(n-1)) f(x(n)) - f(x(n-1)) (3.202) (3.203) = x(n) f(x(n)) - f(x(n-1)) - f(x(n))(x(n) - x(n-1)) f(x(n)) - f(x(n-1)) (3.204) = x(n)f(x(n-1)) - x(n-1)f(x(n)) f(x(n)) - f(x(n-1)) (3.205)

Subtraindo x* de ambos os lados temos: x(n+1) - x* = x(n)f(x(n-1)) - x(n-1)f(x(n)) f(x(n)) - f(x(n-1)) - x* (3.206) = x(n)f(x(n-1)) - x(n-1)f(x(n)) - x* f(x(n)) - f(x(n-1)) f(x(n)) - f(x(n-1)) (3.207) = (x(n) - x*)f(x(n-1)) - (x(n-1) - x*)f(x(n)) f(x(n)) - f(x(n-1)) (3.208)

Definimos ϵn = xn - x*, equivalente a xn = x* + ϵ n ϵn+1 = ϵnf(x* + ϵ n-1) - ϵn-1f(x* + ϵ n) f(x* + ϵn) - f(x* + ϵn-1) (3.209)

Aproximamos a função f(x) no numerador por f(x* + ϵ) f(x*) + ϵf(x*) + ϵ2f(x*) 2 (3.210) f(x* + ϵ) ϵf(x*) + ϵ2f(x*) 2 (3.211)

ϵn+1 ϵn ϵn-1f(x*) + ϵ n-12f(x*) 2 - ϵn-1 ϵnf(x*) + ϵ n2f(x*) 2 f(x* + ϵn) - f(x* + ϵn-1) (3.212) = f(x*) 2 ϵnϵn-12 - ϵ n-1ϵn2 f(x* + ϵn) - f(x* + ϵn-1) (3.213) = 1 2f(x*) ϵnϵn-1 ϵn-1 - ϵn f(x* + ϵn) - f(x* + ϵn-1) (3.214)

Observamos, agora, que

f(x* + ϵ n) - f(x* + ϵ n-1) f(x*) + f(x*)ϵ n - f(x*) + f(x*)ϵ n-1 = f(x*)(ϵ n - ϵn-1) (3.215)

Portanto:

ϵn+1 1 2 f(x*) f(x*)ϵnϵn-1 (3.216)

ou, equivalentemente:

x(n+1) - x* 1 2 f(x*) f(x*) x(n) - x* x(n-1) - x* (3.217)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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