E 3.7.1. Calcule uma equação da reta tangente a curva $y=e^{-{\left(x-1\right)}^2}$ que passa pelo ponto $\left(3,1∕2\right)$.

E 3.7.2. Resolva numericamente a inequação:

E 3.7.3. A equação

tem infinitas raízes. Usando métodos numéricos encontre as primeiras raízes dessa equação. Verifique a $j$-ésima raiz ($z_j$) pode ser aproximada por $j-1∕2$ para $j$ grande. Use o método de Newton para encontrar uma aproximação melhor para $z_j$.

E 3.7.4. (Eletricidade) A corrente elétrica, $I$, em Ampères em uma lâmpada em função da tensão elétrica, $V$, é dada por

Qual a potência da lâmpada quando ligada em série com uma resistência de valor R a uma fonte de 150V quando. (procure erro inferior a 1%)

• $R=0\Omega$
• $R=10\Omega$
• $R=50\Omega$
• $R=100\Omega$
• $R=500\Omega$

E 3.7.5. (Bioquímica) A concentração sanguínea de um medicamente é modelado pela seguinte expressão

onde $t>0$ é o tempo em minutos decorrido desde a administração da droga. $A$ é a quantidade administrada em $mg∕ml$ e $\lambda$ é a constante de tempo em min${}^{-1}$. Responda:

• Sendo $\lambda =1∕3$, em que instantes de tempo a concentração é metade do valor máximo. Calcule com precisão de segundos.
• Sendo $\lambda =1∕3$ e $A=100mg∕ml$, durante quanto tempo a concentração permanece maior que $10mg∕ml$.

E 3.7.6. Considere o seguinte modelo para crescimento populacional em um país:

onde $t$ é dado em anos. Use $t$ em anos e $t=0$ para 1960. Encontre os parâmetros $A$, $B$ e $\lambda$ com base nos anos de 1960, 1970 e 1991 conforme tabela:
 

Use esses parâmetros para calcular a população em 1980 e compare com o valor do censo. Dica: considere $\frac{P\left(31\right)-P\left(0\right)}{P\left(10\right)-P\left(0\right)}$ e reduza o sistema a uma equação apenas na variável $\lambda$.

E 3.7.7. (Fluidos) Uma boia esférica flutua na água. Sabendo que a boia tem $10\ell$ de volume e 2Kg de massa. Calcule a altura da porção molhada da boia.

E 3.7.8. (Fluidos) Uma boia cilíndrica tem secção transversal circular de raio 10cm e comprimento 2m e pesa 10Kg. Sabendo que a boia flutua sobre água com o eixo do cilindro na posição horizontal, calcule a altura da parte molhada da boia.

E 3.7.9. Encontre com 6 casas decimais o ponto da curva $y=lnx$ mais próximo da origem.

E 3.7.10. (Matemática financeira) Um computador é vendido pelo valor a vista de R$2.000,00 ou em 1+15 prestações de R$200,00. Calcule a taxa de juros associada à venda a prazo.

E 3.7.11. (Matemática financeira) O valor de R$110.000,00 é financiado conforme a seguinte programa de pagamentos:

Calcule a taxa de juros envolvida. A data do empréstimo é o mês zero.

E 3.7.12. (Controle de sistemas) Depois de acionado um sistema de aquecedores, a temperatura em um forno evolui conforme a seguinte equação

onde $T$ é a temperatura em Kelvin e $t$ é tempo em horas.

• Obtenha analiticamente o valor de $\underset{t\to \infty }{lim}T\left(t\right)$.
• Obtenha analiticamente o valor máximo de $T\left(t\right)$ e o instante de tempo quando o máximo acontece
• Obtenha numericamente com precisão de minutos o tempo decorrido até que a temperatura passe pela primeira vez pelo valor de equilíbrio obtido no item a.
• Obtenha numericamente com precisão de minutos a duração do período durante o qual a temperatura permanece pelo menos 20% superior ao valor de equilíbrio.

E 3.7.13. Encontre os pontos onde a elipse que satisfaz $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ intersepta a parábola $y=x^2-2$.

E 3.7.14. (Otimização) Encontre a área do maior retângulo que é possível inscrever entre a curva $e^{-x^2}\left(1+cos\left(x\right)\right)$ e o eixo $y=0$.

E 3.7.15. (Otimização)Uma indústria consome energia elétrica de duas usinas fornecedoras. O custo de fornecimento em reais por hora como função da potência consumida em $kW$ é dada pelas seguintes funções $$\begin{array}{rcll}{C}_1\left(x\right)& =& 500+.27x+4.1\cdot 10^{-5}{x}^2+2.1\cdot 10^{-7}{x}^3+4.2\cdot 10^{-10}{x}^4& \text{(3.233)}\\ C_2\left(x\right)& =& 1000+.22x+6.3\cdot 10^{-5}{x}^2+8.5\cdot 10^{-7}{x}^3& \text{(3.234)}\end{array}$$

Onde $C_1\left(x\right)$ e $C_2\left(x\right)$ são os custos de fornecimento das usinas 1 e 2, respectivamente. Calcule o custo mínimo da energia elétrica quando a potência total consumida é $1500kW$. Obs: Para um problema envolvendo mais de duas usinas, veja 5.1.12.

E 3.7.16. (Termodinâmica) A pressão de saturação (em bar) de um dado hidrocarboneto pode ser modelada pela equação de Antoine:

onde $T$ é a temperatura e $A$, $B$ e $C$ são constantes dadas conforme a seguir:

• Calcule a temperatura de bolha de uma mistura de N-pentano e N-heptano à pressão de 1.2bar quando as frações molares dos gases são $z_1=z_2=0.5$. Para tal utilize a seguinte equação:

  $$P=\sum _i{z}_i{P}_i^{sat}$$

  (3.236)

• Calcule a temperatura de orvalho de uma mistura de N-pentano e N-heptano à pressão de 1.2bar quando as frações molares dos gases são $z_1=z_2=0.5$. Para tal utilize a seguinte equação:

  $$\frac{1}{P}=\sum _i\frac{z_i}{P_i^{sat}}$$

  (3.237)

E 3.7.17. Encontre os três primeiros pontos de mínimo da função

para $x>0$ com erro inferior a $10^{-7}$.