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Cálculo Numérico - Versão Python

3.5 Método das secantes


O método das secantes é uma variação do método de Newton, evitando a necessidade de conhecer-se a derivada analítica de f(x). Dada uma função f(x), a ideia é aproximar sua derivada pela razão fundamental:

f(x) f(x) - f(x0) x - x0 ,x x0. (3.157)

Mais precisamente, o método de Newton é uma iteração de ponto fixo da forma:

x(n+1) = x(n) - α(x(n))f(x(n)),n 1, (3.158)

onde x(1) é uma aproximação inicial dada e α(x(n)) = 1f(x(n)). Usando a aproximação da derivada acima, com x = x(n) e x0 = x(n-1), temos:

α(x(n)) = 1 f(x(n)) x(n) - x(n-1) f(x(n)) - f(x(n-1)). (3.159)

Isto nos motiva a introduzir a iteração do método das secantes dada por:

x(n+1) = x(n) - f(x(n)) x(n) - x(n-1) f(x(n)) - f(x(n-1)),n 2. (3.160)

Observe que para inicializarmos a iteração acima precisamos de duas aproximações iniciais, a saber, x(1) e x(2). Maneiras apropriadas de escolher estas aproximações podem ser inferidas da interpretação geométrica do método.

Exemplo 3.5.1. Encontre as raízes de f(x) = cos(x) - x.

Solução. Da inspeção do gráfico das funções y = cos(x) e y = x, sabemos que esta equação possui uma raiz em torno de x = 0,8. Iniciamos o método com x0 = 0,7 e x1 = 0,8.





x(n-1) x(n) m x(n+1)




f(0,8)-f(0,7) 0,8-0,7 = 0,8 - f(0,8) -1,6813548 =
0,7 0,8 - 1,6813548 0,7385654




0,8 0,7385654 - 1,6955107 0,7390784




0,7385654 0,7390784 - 1,6734174 0,7390851




0,7390784 0,7390851 - 1,6736095 0,7390851




3.5.1 Interpretação geométrica


Enquanto, o método de Newton está relacionado às retas tangentes ao gráfico da função objetivo f(x), o método das secantes, como o próprio nome indica, está relacionado às retas secantes.


PIC

Figura 3.7: Método das secantes.


Sejam f(x) e as aproximações x(1) e x(2) do zero x* desta função (veja Figura 3.7). A iteração do método das secantes fornece:

x(3) = x(2) - f(x(2)) x(2) - x(1) f(x(2)) - f(x(1)). (3.161)

De fato, x(3) é o ponto de interseção da reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos x(1) e x(2) com o eixo das abscissas. Com efeito, a equação desta reta secante é:

y = f(x(2)) - f(x(1)) x(2) - x(1) (x - x(2)) + f(x(2)). (3.162)

Esta reta intercepta o eixo das abscissas no ponto x tal que y = 0, isto é:

f(x(2)) - f(x(1)) x(2) - x(1) (x - x(2)) + f(x(2)) x = x(2) - f(x(2)) x(2) - x(1) f(x(2)) - f(x(1)). (3.163)

3.5.2 Análise de convergência


Uma análise assintótica semelhante àquela feita para o método de Newton na subseção 3.4.2 nos indica que, para uma função f(x) duas vezes diferenciável, as iterações do método da secante satisfazem:

|x(n+1) - x*| C|x(n) - x*||x(n-1) - x*|, (3.164)

para aproximações iniciais suficientemente próximas de x*, onde f(x*) = 0. Além disso, veremos que:

|x(n+1) - x*| C|x(n) - x*|p,p = 5 + 1 2 1,618 (3.165)

sob certas condições. Ou seja, o método das secantes tem taxa de convergência superlinear.

Teorema 3.5.1 (Método das secantes). Seja f C2([a,b]) uma função com x* (a,b) tal que f(x*) = 0. Sejam, também:

m := min x[a,b]|f(x)| > 0eM := max x[a,b]|f(x)| < . (3.166)

Além disso, seja ρ > 0 tal que:

q := M 2mρ < 1,Kρ(x*) := {x ; |x - x*| ρ} [a,b]. (3.167)

Então, para aproximações iniciais x(1),x(2) K ρ(x*), com x(1)x(2), temos que as iterações do método das secantes x(n) K ρ(x*), n 1, e x(n) x*, quando n . Além disso, vale a seguinte estimativa de convergência a priori:

|x(n) - x*| 2m M qγn-1 ,n 1, (3.168)

onde {γn}n é a sequência de Fibonacci7 8 , bem como vale a estimativa a posteriori:

|x(n) - x*| M 2m|x(n) - x(n-1)||x(n-1) - x(n-2)|,n 3. (3.169)

Demonstração. Sejam n com n 2 e x(n),x(n-1) K ρ(x*), tal que x(n)x(n-1), x(n)x* e x(n-1)x*. Seja, também:
g(x(n),x(n-1)) := x(n) - f(x(n)) x(n) - x(n-1) f(x(n)) - f(x(n-1)). (3.170)

Com isso, temos: g(x(n),x(n-1)) - x* = x(n) - f(x(n)) x(n) - x(n-1) f(x(n)) - f(x(n-1)) - x* (3.171) = x(n) - x(n-1) f(x(n)) - f(x(n-1)) (x(n) - x*)f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) - f(x(n)) + f(x*) . (3.172) (3.173)

Então, da cota assumida para primeira derivada de f(x) e do teorema do valor médio, temos:

|g(x(n),x(n-1)) - x*| |x(n) - x*| m f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) - f(x(n)) - f(x*) x(n) - x* . (3.174)

Agora, iremos estimar este último termo a direita. Para tanto, começamos observando que da expansão em polinômio de Taylor de ordem 0 da função f(x) com resto na forma integral, temos: f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) = -01 d drf(x(n) + r(x(n-1) - x(n))) dr x(n)-x(n-1) (3.175) =01f(x(n) + r(x(n-1) - x(n)))dr (3.176)

De forma análoga, temos:

f(x(n)) - f(x*) x(n) - x* =01f(x(n) + r(x* - x(n)))dr (3.177)

Logo, temos:

f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) - f(x(n)) - f(x*) x(n) - x* = 01 f(x(n) + r(x(n-1) - x(n))) - f(x(n) + r(x* - x(n))) dr. (3.178)

Agora, novamente temos:

f(x(n) + r(x(n-1) - x(n))) - f(x(n) + r(x* - x(n))) =0r d dsf(x(n) + r(x(n-1) - x(n)) + s(x* - x(n-1)))ds =0rf(x(n) + r(x(n-1) - x(n)) + s(x* - x(n-1)))ds(x* - x(n-1)). (3.179)

Retornando à Equação (3.178) e usando a cota para a segunda derivada, obtemos:

f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) - f(x(n)) - f(x*) x(n) - x* M 2 |x(n-1) - x*|. (3.180)

Utilizando a Equação (3.174), obtemos:

|g(x(n),x(n-1)) - x*| M 2m|x(n) - x*||x(n-1) - x*| M 2mρ2 < ρ. (3.181)

Portanto, concluímos que as iterações do método da secantes x(n) permanecem no conjunto Kρ(x*), se começarem nele. Além disso, temos demonstrado que:

|x(n+1) - x*| M 2m|x(n) - x*||x(n-1) - x*|. (3.182)

Com isso, temos:

ρn := M 2m|x(n) - x*| ρ n+1 ρnρn-1,n 2. (3.183)

Como ρ1 q e ρ2 q, temos ρn qγn-1, n 1. Isto mostra a estimativa de convergência a priori:

|xn - x*| 2m M qγn-1 . (3.184)

Além disso, como γn quando n e q < 1, temos que as iterações do método das secantes x(n) x* quando n .

Por fim, mostramos a estimativa de convergência a posteriori. Para tanto, da cota assumida para a primeira derivada e do teorema do valor médio, temos, para n 3: |x(n) - x*| 1 m|f(x(n) - f(x*)| (3.185) = 1 m f(x(n-1)) + (x(n) - x(n-1))f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) (3.186) = 1 m x(n) - x(n-1) f(x(n)) - f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) + f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) . (3.187)

Agora, a iteração do método das secantes fornece:

x(n) = x(n-1) - f(x(n-1)) x(n-1) - x(n-2) f(x(n-1)) - f(x(n-2)) (3.188)

e temos:

f(x(n-1)) x(n) - x(n-1) = -f(x(n-1)) - f(x(n-2)) x(n-1) - x(n-2) . (3.189)

Portanto:

|x(n) - x*| 1 m|x(n) - x(n-1)|f(x(n-1)) - f(x(n)) x(n-1) - x(n) - f(x(n-1)) - f(x(n-2)) x(n-1) - x(n-2) . (3.190)

Observamos que o último termo pode ser estimado como feito acima para o termo análogo na Inequação (3.174). Com isso, obtemos a estimativa desejada:

|x(n) - x*| M 2m|x(n) - x(n-1)||x(n) - x(n-2)|. (3.191)

Proposição 3.5.1 (Sequência de Fibonacci). A sequência de Fibonacci {γn}n é assintótica a γn ~ λ1n+15 e:

lim nγn+1 γn = λ1, (3.192)

onde λ1 = (1 + 5)2 1,618 é a porção áurea.

Demonstração. A sequência de Fibonacci {γn}n é definida por γ0 = γ1 = 1 e γn+1 = γn + γn-1, n 1. Logo, satisfaz a seguinte equação de diferenças:
γn+2 - γn+1 - γn = 0,n . (3.193)

Tomando γn = λn, λ0 temos:

λn λ2 - λ - 1 = 0 λ2 - λ - 1 = 0 λ 1,2 = 1 ±5 2 . (3.194)

Portanto, γn = c1λ1n + c 2λ2n. Como γ0 = γ1 = 1, as constantes satisfazem:

c1 + c2 = 1 c1λ1 + c2λ2 = 1 c1 = 1 + 5 25 ,c2 = -1 -5 25 . (3.195)

Ou seja, obtemos a seguinte forma explícita para os números de Fibonacci:

γn = 1 5 1 + 5 2 n+1 - 1 -5 2 n+1 . (3.196)

Daí, segue imediatamente o enunciado.

Observação 3.5.1. Sob as hipóteses do Teorema 3.5.1 e da Proposição 3.5.1, temos: lim n|x(n+1) - x*| |x(n) - x*|λ1 lim n M 2m|x(n) - x*|1-λ1 |x(n-1) - x*| (3.197) lim n 2m M 1-λ1 q(2-λ1)λ1n5 = 0. (3.198)

Isto mostra que o método das secantes (nestas hipóteses) tem taxa de convergência superlinear (λ1 1,6).

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