Capítulo 5
Solução de sistemas de equações não lineares

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Neste capítulo, estudaremos o método de Newton aplicado à resolução de sistemas não lineares de equações.

O método de Newton aplicado a encontrar a raiz $x^{\ast }$ da função $y=f\left(x\right)$ estudado na Seção 3.4 consiste em um processo iterativo. Em cada passo deste processo, dispomos de uma aproximação $x^{\left(k\right)}$ para $x^{\ast }$ e construímos uma nova aproximação $x^{\left(k+1\right)}$. Cada passo do método de Newton envolve os seguintes procedimentos:

• Linearização da função $f\left(x\right)$ no ponto $x^{\left(k\right)}$:

  $$f\left(x\right)=f\left(x^{\left(k\right)}\right)+\left(x-x^{\left(k\right)}\right)f^{\prime }\left(x^{\left(k\right)}\right)+O\left(|x-x^{\left(k\right)}{|}^2\right)$$

  (5.1)

• A aproximação $x^{\left(k+1\right)}$ é definida como o valor de $x$ em que a linearização $f\left(x^{\left(k\right)}\right)+\left(x-x^{\left(k\right)}\right)f^{\prime }\left(x^{\left(k\right)}\right)$ passa por zero.

Queremos, agora, generalizar o método de Newton a fim de resolver problemas de várias equações e várias incógnitas, ou seja, encontrar $x_1,x_2,\dots x_n$ que satisfazem as seguintes equações: $$\begin{array}{rcll}{f}_1\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)& =& 0& \text{(5.2)}\\ f_2\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)& =& 0& \text{(5.3)}\\ & ⋮& & \text{(5.4)}\\ f_n\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)& =& 0& \text{(5.5)}\end{array}$$

Podemos escrever este problema na forma vetorial definindo o vetor $x={\left[x_1,x_2,\dots ,x_n\right]}^T$ e a função vetorial

$$F\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}\hfill f_1\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\hfill \\ \hfill f_2\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill f_n\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\hfill \end{array}\right].$$

(5.6)

Neste momento, dispomos de um problema na forma $F\left(x\right)=0$ e precisamos desenvolver uma técnica para linearizar a função $F\left(x\right)$. Para tal, precisamos de alguns conceitos do cálculo de várias variáveis.

Observe que $F\left(x\right)-F\left(x^{\left(0\right)}\right)$ pode ser escrito como

$$F\left(x\right)-F\left(x^{\left(0\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}\hfill f_1\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)-f_1\left(x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)},\dots ,x_n^{\left(0\right)}\right)\hfill \\ \hfill f_2\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)-f_2\left(x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)},\dots ,x_n^{\left(0\right)}\right)\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill f_n\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)-f_n\left(x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)},\dots ,x_n^{\left(0\right)}\right)\hfill \end{array}\right]$$

(5.10)

Usamos a regra da cadeia

$$d{f}_i=\frac{\partial f_i}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f_i}{\partial x_2}d{x}_2+\cdots +\frac{\partial f_i}{\partial x_n}d{x}_n=\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}d{x}_j$$

(5.11)

e aproximamos as diferenças por derivadas parciais:

$$f_i\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)-f_i\left(x_1^{\left(0\right)},x_2^{\left(0\right)},\dots ,x_n^{\left(0\right)}\right)\approx \sum _{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\left(x_j-x_j^{\left(0\right)}\right)$$

(5.12)

Portanto,

$$F\left(x\right)-F\left(x^{\left(0\right)}\right)\approx \left[\begin{array}{cccc}\hfill \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\hfill & \hfill \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill \frac{\partial f_2}{\partial x_1}\hfill & \hfill \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill \frac{\partial f_n}{\partial x_1}\hfill & \hfill \frac{\partial f_n}{\partial x_2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x_1-x_1^{\left(0\right)}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill x_2-x_2^{\left(0\right)}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill x_n-x_n^{\left(0\right)}\hfill \end{array}\right],$$

(5.13)

Definimos, então, a matriz jacobiana por

$$J_F=\frac{\partial \left(f_1,f_2,\dots ,f_n\right)}{\partial \left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)}=\left[\begin{array}{cccc}\hfill \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\hfill & \hfill \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill \frac{\partial f_2}{\partial x_1}\hfill & \hfill \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill \frac{\partial f_n}{\partial x_1}\hfill & \hfill \frac{\partial f_n}{\partial x_2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(5.14)

Isto é, a matriz jacobiana de uma função ou simplesmente, o jacobiano de uma função $F\left(x\right)$ é a matriz formada pelas suas derivadas parciais:

$${\left(J_F\right)}_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}.$$

(5.15)

Nestes termos, podemos reescrever (5.13) como

$$F\left(x\right)\approx F\left(x^{\left(0\right)}\right)+J_F\left(x^{\left(0\right)}\right)\left(x-x^{\left(0\right)}\right)$$

(5.16)

Esta expressão é chamada de linearização de $F\left(x\right)$ no ponto $x^{\left(0\right)}$ e generaliza a linearização em uma dimensão dada por $f\left(x\right)\approx f\left(x^{\left(0\right)}\right)+f^{\prime }\left(x^{\left(0\right)}\right)\left(x-x^{\left(0\right)}\right)$.

Ao longo deste capítulo, assumiremos que as seguintes bibliotecas e módulos Python estão importadas: