Interpolação cúbica segmentada

Cálculo Numérico - Versão Scilab

6.6 Interpolação cúbica segmentada - spline

A ideia empregada na interpolação linear segmentada pode ser estendida através da utilização de polinômios de grau superior. A escolha de polinômios de grau superior implica uma maior liberdade (há um número maior de coeficientes) na construção da interpolação. Parte dessa liberdade pode ser utilizada na exigência de suavidade para a interpolação.

Definição 6.6.1 (spline de ordem $m$ ). Dado um conjunto de $n$ pontos $I = {\{(x_{j}, y_{j})\}}_{j = 1}^{n}$ tais que $x_{j + 1} > x_{j}$ , ou seja, as abscissas são distintas e estão em ordem crescente; um spline de ordem $m$ que interpola estes pontos é uma função $s$ com as seguintes propriedades:

Em cada intervalo $[x_{j}, x_{j + 1})$ , $j = 1, 2, \dots n - 2$ e no segmento $[x_{n - 1}, x_{n}]$ $s$ é um polinômio de grau menor ou igual a $m$ ;
Em algum dos intervalos $s$ é um polinômio de grau $m$ ;
Em cada $x_{j} \in I$ , $s (x_{j}) = y_{j}$ , isto é, o spline interpola os pontos dados;
$s$ é uma função de classe $C^{m - 1}$ , isto é, é função $m - 1$ vezes continuamente diferenciável.

São $n - 1$ intervalos e em cada um deles há $m + 1$ coeficientes a se determinar. As condições iii e iv impostas pela definição correspondem respectivamente a $n$ e $m (n - 2)$ equações. Estas últimas, se devem à exigência de continuidade nos pontos internos, ou seja, os pontos de $I$ com índices $j = 2, 3, \dots, n - 1$ . Portanto, há $m - 1$ coeficientes a mais do que o número de equações e, à exceção do caso $m = 1$ (interpolação linear segmentada), o problema é subdeterminado. Ou seja, uma vez fixada a ordem $m > 1$ , existem infinitos splines de ordem $m$ que interpolam os pontos do conjunto $I$ .

O caso $m = 3$ , denominado spline cúbico, é de grande interesse pois reproduz o comportamento físico de réguas delgadas com estrutura elástica homogênea e perfil uniforme sujeitas aos vínculos representados pelos pontos do conjunto $I$ . A equação diferencial que rege o comportamento do perfil dessas réguas é um caso particular do equação da viga de Euler-Bernoulli. Neste caso, a equação tem a forma

\frac{d^{4} y}{d x^{4}} = 0,

(6.65)

cuja solução geral é um polinômio de grau 3.

Vamos supor que um spline cúbico que interpola o conjunto de pontos $I$ é conhecido. Como esse spline é uma função de classe $C^{2}$ , as suas derivadas nos pontos do conjunto $I$ são conhecidas também. Seja $y_{j}^{'}$ , o valor dessa derivada em $x = x_{j}$ . Agora, vamos considerar dois pares de pontos sucessivos de $I$ , $(x_{j}, y_{j})$ e $(x_{j + 1}, y_{j + 1})$ . A forma do spline cúbico no intervalo $[x_{j}, x_{j + 1})$ pode ser identificada com a solução da equação diferencial (6.65) no intervalo $(x_{j}, x_{j + 1})$ sujeita às condições de contorno

y (x_{j}) = y_{j}, y^{'} (x_{j}) = y_{j}^{'}, y (x_{j + 1}) = y_{j + 1} e y^{'} (x_{j + 1}) = y_{j + 1}^{'} .

(6.66)

A solução desse problema de contorno é escrita de modo conveniente como

s_{j} (x) = a_{j} + b_{j} (x - x_{j}) + c_{j} {(x - x_{j})}^{2} + d_{j} {(x - x_{j})}^{3},

(6.67)

onde as constantes $a_{j}$ , $b_{j}$ , $c_{j}$ e $d_{j}$ se relacionam às do problema de contorno. As duas primeiras seguem imediatamente das condições de contorno em $x_{j}$ :

a_{j} = y_{j} e b_{j} = y_{j}^{'} .

(6.68)

As duas últimas são obtidas pela solução do sistema de equações formado pelas condições de contorno em $x_{j + 1}$ :

c_{j} = 3 \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{{(x_{j + 1} - x_{j})}^{2}} - \frac{y_{j + 1}^{'} + 2 y_{j}^{'}}{x_{j + 1} - x_{j}} e d_{j} = - 2 \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{{(x_{j + 1} - x_{j})}^{3}} + \frac{y_{j + 1}^{'} + y_{j}^{'}}{{(x_{j + 1} - x_{j})}^{2}}

(6.69)

Esta relação entre o conjunto de valores para a derivada de um spline cúbico ${y_{j}^{'}}_{j = 1}^{n}$ nos pontos de interpolação $I$ e os coeficientes dos polinômios em cada intervalo de interpolação pode ser resumida na seguinte proposição:

Proposição 6.6.1. Seja $s$ um spline cúbico que interpola o conjunto de pontos $I = {(x_{j}, y_{j})}_{j = 1}^{n} \subset ℝ^{2}$ tais que $x_{j + 1} > x_{j}$ . Se ${y_{j}^{'}}_{j = 1}^{n}$ é o conjunto dos valores da derivada de $s$ em $x_{j}$ , então em cada intervalo $[x_{j}, x_{j + 1})$ (fechado também à direita quando $j = n - 1$ ) o spline é igual a $s_{j}$ :

s_{j} (x) = a_{j} + b_{j} (x - x_{j}) + c_{j} {(x - x_{j})}^{2} + d_{j} {(x - x_{j})}^{3},

(6.70)

onde

\begin{matrix} a_{j} = y_{j}, & c_{j} = 3 \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{h_{j}^{2}} - \frac{y_{j + 1}^{'} + 2 y_{j}^{'}}{h_{j}}, \\ b_{j} = y_{j}^{'}, & d_{j} = - 2 \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{h_{j}^{3}} + \frac{y_{j + 1}^{'} + y_{j}^{'}}{h_{j}^{2}} \end{matrix}

(6.71)

h_{j} = x_{j + 1} - x_{j}, j = 1, 2, \dots, n - 1

(6.72)

é a distância entre as abscissas de dois pontos de interpolação consecutivos.

De acordo com a proposição anterior, toda informação sobre um spline cúbico é armazenada no conjunto ${(x_{j}, y_{j}, y_{j}^{'})}_{j = 1}^{n}$ . Por construção, uma função $s$ definida a partir de (6.70), (6.71) e (6.72) com um conjunto ${(x_{j}, y_{j}, y_{j}^{'})}_{j = 1}^{n} \subset ℝ^{3}$ , onde $x_{j + 1} > x_{j}$ é de classe $C^{1}$ mas não necessariamente um spline cúbico. Para ser um spline cúbico, os valores do conjunto ${y_{j}^{'}}_{j = 1}^{n}$ devem garantir a continuidade da derivada segunda de $s$ em todo intervalo $(x_{1}, x_{n})$ . Ou seja, devemos ter

lim_{x ↗ x_{j + 1}} s_{j}^{″} (x) = s_{j + 1}^{″} (x_{j + 1})

(6.73)

em todos os pontos internos $j = 1, 2, \dots, n - 2$ . Em termos dos coeficientes dos polinômios cúbicos (6.70), a equação anterior assume a forma

2 c_{j} + 6 d_{j} h_{j} = 2 c_{j + 1}, j = 1, 2, \dots, n - 2 .

(6.74)

Esta última equação e (6.71) permitem construir um sistema de equações lineares para as variáveis $y_{j}^{'}$ :

Proposição 6.6.2. Dado o conjunto de pontos $I = {(x_{j}, y_{j})}_{j = 1}^{n} \subset ℝ^{2}$ tais que $x_{j + 1} > x_{j}$ , as derivadas de um spline cúbico que interpola os pontos $I$ , $y_{j}^{'}$ , $j = 1, 2, \dots, n$ satisfazem o sistema de equações algébricas lineares

h_{j} y_{j - 1}^{'} + 2 (h_{j - 1} + h_{j}) y_{j}^{'} + h_{j - 1} y_{j + 1}^{'} = 3 (h_{j} \frac{y_{j} - y_{j - 1}}{h_{j - 1}} + h_{j - 1} \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{h_{j}}),

(6.75)

onde $j = 2, 3, \dots, n - 1$ e $h_{j} = x_{j + 1} - x_{j}$ .

O sistema de equações (6.75) é subdeterminado. São $n$ variáveis e $n - 2$ equações. A inclusão de duas equações adicionais linearmente independentes das $n - 2$ equações (6.75) possibilita a existência de uma única solução. Tipicamente essas equações adicionais envolvem o comportamento do spline na fronteira ou na sua vizinhança. A seguir, veremos quatro escolhas mais conhecidas.

6.6.1 Spline natural

Uma forma de definir as duas equações adicionais para completar o sistema (6.75) é impor condições de fronteira livres (ou naturais), ou seja,

s^{″} (x_{1}) = s^{″} (x_{n}) = 0 .

(6.76)

De acordo com (6.70) essas equações implicam respectivamente

c_{1} = 0 e 2 c_{n - 1} + 6 d_{n - 1} h_{n - 1} = 0,

(6.77)

ou seja,

\{\begin{matrix} 2 y_{1}^{'} + y_{2}^{'} = 3 \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} \\ y_{n - 1}^{'} + 2 y_{n}^{'} = 3 \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}} \end{matrix} .

(6.78)

Essas duas equações em conjunto com as equações (6.75) formam um sistema de $n$ equações algébricas lineares $A y^{'} = z$ , onde

A = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ h_{2} & 2 (h_{1} + h_{2}) & h_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & h_{3} & 2 (h_{2} + h_{3}) & h_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & h_{n - 1} & 2 (h_{n - 1} + h_{n - 2}) & h_{n - 2} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 2 \end{matrix}],

(6.79)

y^{'} = [\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n}^{'} \end{matrix}] e z = 3 [\begin{matrix} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} \\ h_{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} + h_{1} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}} \\ h_{3} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}} + h_{2} \frac{y_{4} - y_{3}}{h_{3}} \\ ⋮ \\ h_{n - 1} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} + h_{n - 2} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}} \\ \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}} \end{matrix}] .

(6.80)

Observe que a matriz $A$ é diagonal dominante estrita e, portanto, o sistema $A y^{'} = z$ possui solução única. Calculado $y^{'}$ , os valores dos $a_{j}$ , $b_{j}$ , $c_{j}$ e $d_{j}$ são obtidos diretamente pelas expressões (6.71).

Exemplo 6.6.1. Construa um spline cúbico natural que passe pelos pontos $(2, 4, 5)$ , $(5, - 1, 9)$ , $(9, 0, 5)$ e $(12, - 0, 5)$ .

Solução. O spline desejado é uma função definida por partes da forma:

s (x) = \{\begin{matrix} a_{1} + b_{1} (x - 2) + c_{1} {(x - 2)}^{2} + d_{1} {(x - 2)}^{3}, & 2 \leq x < 5 \\ a_{2} + b_{2} (x - 5) + c_{2} {(x - 5)}^{2} + d_{2} {(x - 5)}^{3}, & 5 \leq x < 9 \\ a_{3} + b_{3} (x - 9) + c_{3} {(x - 9)}^{2} + d_{3} {(x - 9)}^{3}, & 9 \leq x \leq 12 \end{matrix} .

(6.81)

As variáveis $y_{1}^{'}$ , $y_{2}^{'}$ , $y_{3}^{'}$ e $y_{4}^{'}$ resolvem o sistema $A y^{'} = z$ , onde

A = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 (4 + 3) & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 (3 + 4) & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 14 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 14 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}],

(6.82)

y = [\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ y_{3}^{'} \\ y_{4}^{'} \end{matrix}] e z = 3 [\begin{matrix} \frac{1}{3} (- 1, 9 - 4, 5) \\ \frac{4}{3} (- 1, 9 - 4, 5) + \frac{3}{4} (0, 5 - (- 1, 9)) \\ \frac{3}{4} (0, 5 - (- 1, 9)) + \frac{4}{3} (- 0.5 - (0, 5)) \\ \frac{1}{3} (- 0, 5 - (0.5)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 6, 4 \\ - 20, 2 \\ 1, 4 \\ - 1 \end{matrix}] .

(6.83)

A solução é $y_{1}^{'} = - 2, 8 \bar{3}$ , $y_{2}^{'} = - 0, 7 \bar{3}$ , $y_{3}^{'} = 0, 4 \bar{6}$ e $y_{4}^{'} = - 0, 7 \bar{3}$ . Calculamos os coeficientes usando as expressões (6.71):

\begin{matrix} a_{1} & = & y_{1} = 4, 5, & b_{1} & = & y_{1}^{'} = - 2, 8 \bar{3}, \\ a_{2} & = & y_{2} = - 1, 9, & b_{2} & = & y_{2}^{'} = - 0, 7 \bar{3}, \\ a_{3} & = & y_{3} = 0, 5 . & b_{3} & = & y_{3}^{'} = 0, 4 \bar{6}, \\ c_{1} & = & 0, & d_{1} & = & 0, 0 \bar{7}, \\ c_{2} & = & 0, 7, & d_{2} & = & - 0, 091 \bar{6}, \\ c_{3} & = & - 0, 4, & d_{3} & = & 0, 0 \bar{4} . \end{matrix}

(6.84)

Portanto:

S (x) = \{\begin{matrix} 4, 5 - 2, 8 \bar{3} (x - 2) + 0, 0 \bar{7} {(x - 2)}^{3} & , 2 \leq x < 5 \\ - 1, 9 - 0, 7 \bar{3} (x - 5) + 0, 7 {(x - 5)}^{2} - 0, 091 \bar{6} {(x - 5)}^{3} & , 5 \leq x < 9 \\ 0, 5 + 0, 4 \bar{6} (x - 9) - 0, 4 {(x - 9)}^{2} + 0, 0 \bar{4} {(x - 9)}^{3} & , 9 \leq x \leq 12 \end{matrix} .

(6.85)

No Scilab, podemos utilizar:

xi = [2;5;9;12]
yi = [4.5;-1.9;0.5;-0.5]
hi = xi(2:4)-xi(1:3)
A = [2 1 0 0;hi(2) 2*(hi(1)+hi(2)) hi(1) 0; ...
   0 hi(3) 2*(hi(2)+hi(3)) hi(2);0 0 1 2 ]
z = 3*[(yi(2)-yi(1))/hi(1); ...
   hi(2)/hi(1)*(yi(2)-yi(1))+hi(1)/hi(2)*(yi(3)-yi(2));...
   hi(3)/hi(2)*(yi(3)-yi(2))+hi(2)/hi(3)*(yi(4)-yi(3));...
   (yi(4)-yi(3))/hi(3)]
dyi = A\z
a=yi(1:3)
b=dyi(1:3)
c(1)=0
c(2:3)=3*(yi(3:4)-yi(2:3))./hi(2:3).^2 ...
         - (dyi(3:4)+2*dyi(2:3))./hi(2:3)
d=-2*(yi(2:4)-yi(1:3))./hi.^3 + (dyi(2:4)+dyi(1:3))./hi.^2
for i=1:3
    P(i) = poly([a(i) b(i) c(i) d(i)],’x’,’coeff’)
    z = [xi(i):.01:xi(i+1)]
    plot(z,horner(P(i),z-xi(i)))
end

O mesmo resultado é obtido através das instruções splin e interp do Scilab:

xi = [2;5;9;12]
yi = [4.5;-1.9;0.5;-0.5]
dyi=splin(xi,yi,’natural’)
z=linspace(xi(1),xi($))
plot(z,interp(z,xi,yi,dyi))

$♢$

6.6.2 Spline fixado

O spline fixado $s$ é obtido pela escolha dos valores das derivadas nas extremidades do intervalo de interpolação. Isto diminui o número de variáveis para $n - 2$ pois $y_{1}^{'}$ e $y_{n}^{'}$ deixam de ser incógnitas.

As equações (6.75) formam um sistema de $n - 2$ equações $A y^{'} = z$ , onde

A = [\begin{matrix} 2 (h_{1} + h_{2}) & h_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ h_{3} & 2 (h_{2} + h_{3}) & h_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & h_{4} & 2 (h_{3} + h_{4}) & h_{3} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & h_{n - 2} & 2 (h_{n - 3} + h_{n - 2}) & h_{n - 3} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & h_{n - 1} & 2 (h_{n - 2} + h_{n - 1}) \end{matrix}],

(6.86)

y^{'} = [\begin{matrix} y_{2}^{'} \\ y_{3}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n - 1}^{'} \end{matrix}] e z = 3 [\begin{matrix} h_{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} + h_{1} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}} - h_{2} y_{1}^{'} \\ h_{3} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}} + h_{2} \frac{y_{4} - y_{3}}{h_{3}} \\ ⋮ \\ h_{n - 2} \frac{y_{n - 2} - y_{n - 3}}{h_{n - 3}} + h_{n - 3} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} \\ h_{n - 1} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} + h_{n - 2} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}} - h_{n - 2} y_{n}^{'} \end{matrix}] .

(6.87)

Observe que a matriz $A$ é diagonal dominante estrita e, portanto, o sistema $A y^{'} = z$ possui solução única.

6.6.3 Spline not-a-knot

O spline not-a-knot é definido com um spline cúbico que satisfaz as equações adicionais

lim_{x ↗ x_{2}} s_{1}^{‴} (x) = s_{2}^{‴} (x_{2}) e lim_{x ↗ x_{n - 1}} s_{n - 2}^{‴} (x) = s_{n - 1}^{‴} (x_{n - 1}) .

(6.88)

Em termos dos coeficientes (6.70), as equações anteriores correspondem a

d_{1} = d_{2} e d_{n - 2} = d_{n - 1},

(6.89)

ou seja,

\{\begin{matrix} h_{2}^{2} y_{1}^{'} + (h_{2}^{2} - h_{1}^{2}) y_{2}^{'} - h_{1}^{2} y_{3}^{'} = 2 (h_{2}^{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} - h_{1}^{2} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}}) \\ h_{n - 1}^{2} y_{n - 2}^{'} + (h_{n - 1}^{2} - h_{n - 2}^{2}) y_{n - 1}^{'} - h_{n - 2}^{2} y_{n}^{'} = 2 (h_{n - 1}^{2} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} - h_{n - 2}^{2} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}}) \end{matrix} .

(6.90)

Essas duas equações agregadas às equações (6.75) formam um sistema de $n$ equações $A y^{'} = z$ , onde

A = [\begin{matrix} h_{2}^{2} & h_{2}^{2} - h_{1}^{2} & - h_{1}^{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ h_{2} & 2 (h_{1} + h_{2}) & h_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & h_{3} & 2 (h_{2} + h_{3}) & h_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & h_{n - 1} & 2 (h_{n - 2} + h_{n - 1}) & h_{n - 2} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & h_{n - 1}^{2} & h_{n - 1}^{2} - h_{n - 2}^{2} & - h_{n - 2}^{2} \end{matrix}],

(6.91)

y^{'} = [\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n}^{'} \end{matrix}] e z = [\begin{matrix} 2 (h_{2}^{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} - h_{1}^{2} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}}) \\ 3 (h_{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} + h_{1} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}}) \\ ⋮ \\ 3 (h_{n - 1} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} + h_{n - 2} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}}) \\ 2 (h_{n - 1}^{2} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} - h_{n - 2}^{2} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}}) \end{matrix}] .

(6.92)

Se reduzirmos esse sistema pela eliminação das incógnitas $y_{1}^{'}$ e $y_{n}^{'}$ , o sistema resultante possui uma matriz de coeficientes diagonal dominante estrita, portanto, a solução é única.

O termo not-a-knot (não nó) relaciona-se à nomenclatura dos splines. O termo nó é utilizado para os pontos interpolados. Neles, a derivada terceira da função spline é descontínua, portanto, quando impomos a continuidade dessa derivada em $x_{2}$ e $x_{n - 1}$ é como se esses pontos deixassem de ser nós.

6.6.4 Spline periódico

Se o conjunto de $n$ pontos da interpolação $I$ for tal que $y_{1} = y_{n}$ , então é possível construir o spline periódico, definido com um spline cúbico que satisfaz as seguintes condições de periodicidade

s_{1}^{'} (x_{1}) = s_{n - 1}^{'} (x_{n}) e s_{1}^{″} (x_{1}) = s_{n - 1}^{″} (x_{n}) .

(6.93)

Em termos dos coeficientes (6.70)

b_{1} = b_{n - 1} e 2 c_{1} = 2 c_{n - 1} + 6 d_{n - 1} h_{n - 1},

(6.94)

ou seja,

\{\begin{matrix} y_{1}^{'} - y_{n}^{'} = 0 \\ 2 h_{n - 1} y_{1}^{'} + h_{n - 1} y_{2}^{'} + h_{1} y_{n - 1}^{'} + 2 h_{1} y_{n}^{'} = 3 (h_{n - 1} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} + h_{1} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}}) \end{matrix} .

(6.95)

Essas duas equações agregadas às equações (6.75) formam um sistema de $n$ equações $A y^{'} = z$ , onde

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 \\ h_{2} & 2 (h_{1} + h_{2}) & h_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & h_{3} & 2 (h_{2} + h_{3}) & h_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & h_{n - 1} & 2 (h_{n - 2} + h_{n - 1}) & h_{n - 2} \\ 2 h_{n - 1} & h_{n - 1} & 0 & \dots & 0 & h_{1} & 2 h_{1} \end{matrix}],

(6.96)

y^{'} = [\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n}^{'} \end{matrix}] e z = 3 [\begin{matrix} 0 \\ h_{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} + h_{1} \frac{y_{3} - y_{2}}{h_{2}} \\ ⋮ \\ h_{n - 1} \frac{y_{n - 1} - y_{n - 2}}{h_{n - 2}} + h_{n - 2} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}} \\ h_{n - 1} \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{1}} + h_{1} \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{h_{n - 1}} \end{matrix}] .

(6.97)

Neste caso também, se reduzirmos esse sistema pela eliminação das incógnitas $y_{1}^{'}$ e $y_{n}^{'}$ , o sistema resultante possui uma matriz de coeficientes diagonal dominante estrita, portanto, a solução é única.

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