Interpolação linear segmentada

Cálculo Numérico - Versão Scilab

6.5 Interpolação linear segmentada

Considere o conjunto ${(x_{i}, y_{i})}_{j = 1}^{n}$ de $n$ pontos. Assumiremos que $x_{i + 1} > x_{i}$ , ou seja, as abscissas são distintas e estão em ordem crescente. A função linear que interpola os pontos $x_{i}$ e $x_{i + 1}$ no intervalo $i$ é dada por

P_{i} (x) = y_{i} \frac{(x_{i + 1} - x)}{(x_{i + 1} - x_{i})} + y_{i + 1} \frac{(x - x_{i})}{(x_{i + 1} - x_{i})}

(6.61)

O resultado da interpolação linear segmentada é a seguinte função contínua definida por partes no intervalo $[x_{1}, x_{n}]$ :

f (x) = P_{i} (x), x \in [x_{i}, x_{i + 1}]

(6.62)

Exemplo 6.5.1. Construa uma função linear por partes que interpola os pontos $(0, 0)$ , $(1, 4)$ , $(2, 3)$ , $(3, 0)$ , $(4, 2)$ , $(5, 0)$ .

A função procurada pode ser construída da seguinte forma:

f (x) = \{\begin{matrix} 0 \frac{x - 1}{0 - 1} + 1 \frac{x - 0}{1 - 0}, & 0 \leq x < 1 \\ 4 \frac{x - 2}{1 - 2} + 3 \frac{x - 1}{2 - 1}, & 1 \leq x < 2 \\ 3 \frac{x - 3}{2 - 3} + 0 \frac{x - 2}{3 - 2}, & 2 \leq x < 3 \\ 0 \frac{x - 4}{3 - 4} + 2 \frac{x - 3}{4 - 3}, & 3 \leq x < 4 \\ 2 \frac{x - 5}{4 - 5} + 0 \frac{x - 4}{5 - 4}, & 4 \leq x \leq 5 \end{matrix}

(6.63)

Simplificando, obtemos:

f (x) = \{\begin{matrix} x, & 0 \leq x < 1 \\ - x + 5, & 1 \leq x < 2 \\ - 3 x + 9, & 2 \leq x < 3 \\ 2 x - 6, & 3 \leq x < 4 \\ - 2 x + 10, & 4 \leq x \leq 5 \end{matrix}

(6.64)

A Figura 6.3 é um esboço da função $f (x)$ obtida.

Ela foi gerada no Scilab usando os comandos:

//pontos fornecidos
xi = [0;1;2;3;4;5]
yi = [0;4;3;0;2;0]
//numero de pontos
n = 6
//funcao interpoladora
function [y] = f(x)
  for i=1:n-2
    if ((x>=xi(i)) & (x<xi(i+1))) then
      y = yi(i)*(x-xi(i+1))/(xi(i) - xi(i+1)) ...
          + yi(i+1)*(x-xi(i))/(xi(i+1) - xi(i));
    end
  end

  if ((x>=xi(n-1)) & (x<=xi(n))) then
    y = yi(n-1)*(x-xi(n))/(xi(n-1) - xi(n)) ...
        + yi(n)*(x-xi(n-1))/(xi(n) - xi(n-1));
  end
endfunction
//graficando
xx = linspace(xi(1),xi(n),500)’;
clear yy
for i=1:max(size(xx))
  yy(i) = f(xx(i))
end
plot(xi,yi,’r.’,xx,yy,’b-’)

Figura 6.3: Interpolação linear segmentada.

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:36:32.

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