9.8 Integrais impróprias

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A aplicação de quadraturas numéricas para integrais impróprias geralmente demanda alguns cuidados adicionais. Aqui, abordaremos apenas alguns aspectos, começando por integrandos com singularidade no intervalo de integração.

9.8.1 Integrandos com singularidade do tipo $1∕{\left(x-a\right)}^n$

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Consideremos a integral imprópria⁴

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^b\frac{f\left(x\right)}{{\left(x-a\right)}^p}dx,0<p<1,$$

(9.213)

Observamos, que para uma tal integral, não é possível aplicar, diretamente, as regras do trapézio e de Simpson. Alternativamente, podemos aplicar a regra do ponto médio e quadraturas gaussianas, por exemplo. Entretanto, aplicações diretas de tais quadraturas fornecem resultados pouco precisos (veja o Exemplo 9.8.1).

Uma estratégia para se computar uma tal integral imprópria

$$I={\int \; <!--nolimits-->}_a^b\frac{f\left(x\right)}{{\left(x-a\right)}^p}dx$$

(9.215)

é reescrevê-la da forma

$$I=\underset{I_1}{\underbrace{{\int \; <!--nolimits-->}_a^b\frac{f\left(x\right)-p\left(x\right)}{{\left(x-a\right)}^n}dx}}+\underset{I_2}{\underbrace{{\int \; <!--nolimits-->}_a^b\frac{p\left(x\right)}{{\left(x-a\right)}^n}dx}}$$

(9.216)

onde $p\left(x\right)$ é escolhida de forma que a singularidade esteja presente somente em $I_2$ e esta possa ser calculada de forma analítica, restando computar $I_1$ numericamente. Isto pode ser feito, escolhendo $p\left(x\right)$ como a expansão em polinômio de Taylor da função $f\left(x\right)$ em torno do ponto $x=a$, i.e.

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}p\left(x\right)& =f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)\left(x-a\right)+\frac{f^{″}\left(a\right)}{2!}{\left(x-a\right)}^2+\cdots +\frac{f^{\left(m\right)}\left(a\right)}{m!}{\left(x-a\right)}^m\end{array}& \end{array}$$

(9.217)

Com esta escolha, o integrando de $I_1$ passa a ter uma singularidade removível

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)-p\left(x\right)}{{\left(x-a\right)}^p}=0.$$

(9.218)

e pode ser computada numericamente. A integral $I_2$ pode ser calculada analiticamente, de fato

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}{\int \; <!--nolimits-->}_a^b\frac{p\left(x\right)}{{\left(x-a\right)}^p}dx& ={\left.\frac{f\left(a\right)}{1!\left(1-p\right)}{\left(x-a\right)}^{1-p}+\cdots +\frac{f^{\left(m\right)}\left(a\right)}{m!\left(m-p\right)}{\left(x-a\right)}^{m-p}\right|}_a^b.\end{array}& \end{array}$$

(9.219)

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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