Integrais impróprias

Cálculo Numérico - Versão GNU Octave

9.8 Integrais impróprias

A aplicação de quadraturas numéricas para integrais impróprias geralmente demanda alguns cuidados adicionais. Aqui, abordaremos apenas alguns aspectos, começando por integrandos com singularidade no intervalo de integração.

9.8.1 Integrandos com singularidade do tipo $1 ∕ {(x - a)}^{n}$

Consideremos a integral imprópria³

\int_{a}^{b} \frac{f (x)}{{(x - a)}^{p}} d x, 0 < p < 1,

(9.213)

Observamos, que para uma tal integral, não é possível aplicar, diretamente, as regras do trapézio e de Simpson. Alternativamente, podemos aplicar a regra do ponto médio e quadraturas gaussianas, por exemplo. Entretanto, aplicações diretas de tais quadraturas fornecem resultados pouco precisos (veja o Exemplo 9.8.1).

Exemplo 9.8.1. Aplicando as regras compostas do ponto médio e quadratura gaussiana com dois pontos à integral

\int_{0}^{1} \frac{e^{- x}}{x^{1 ∕ 2}} d x

(9.214)

obtemos os seguintes resultados ( $n$ número de subintervalos):


n	h	Ponto Médio	G-L(2)

1	1	0,8577	1,1363
10	$1 0^{- 1}$	1,3007	1,3829
$1 0^{2}$	$1 0^{- 2}$	1,4331	1,4587
$1 0^{3}$	$1 0^{- 3}$	1,4745	1,4826
$1 0^{4}$	$1 0^{- 4}$	1,4876	1,4902

No GNU Octave, podemos computar os valores apresentados na tabela acima da seguinte forma:

f = @(x) exp(-x)/(sqrt(x));
a=0;
b=1;
n=10;
h=(b-a)/n;
x=0:h:1;

%regra do ponto medio
s=0;
for i=1:n
  s += f((x(i)+x(i+1))/2)*h;
endfor
printf("%1.4e\n",s)

%quadratura gaussiana (2 pontos)
s=0;
for i=1:n
   F = @(u) (x(i+1)-x(i))/2*f((x(i+1)-x(i))/2*(u+1)+x(i));
   s += F(sqrt(3)/3) + F(-sqrt(3)/3);
endfor
printf("%1.4e\n",s)

Uma estratégia para se computar uma tal integral imprópria

I = \int_{a}^{b} \frac{f (x)}{{(x - a)}^{p}} d x

(9.215)

é reescrevê-la da forma

I = \underset{I_{1}}{\underset{︸}{\int_{a}^{b} \frac{f (x) - p (x)}{{(x - a)}^{n}} d x}} + \underset{I_{2}}{\underset{︸}{\int_{a}^{b} \frac{p (x)}{{(x - a)}^{n}} d x}}

(9.216)

onde $p (x)$ é escolhida de forma que a singularidade esteja presente somente em $I_{2}$ e esta possa ser calculada de forma analítica, restando computar $I_{1}$ numericamente. Isto pode ser feito, escolhendo $p (x)$ como a expansão em polinômio de Taylor da função $f (x)$ em torno do ponto $x = a$ , i.e.

\begin{matrix} \begin{aligned} p (x) & = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \dots + \frac{f^{(m)} (a)}{m!} {(x - a)}^{m} \end{aligned} \end{matrix}

(9.217)

Com esta escolha, o integrando de $I_{1}$ passa a ter uma singularidade removível

lim_{x \to a} \frac{f (x) - p (x)}{{(x - a)}^{p}} = 0 .

(9.218)

e pode ser computada numericamente. A integral $I_{2}$ pode ser calculada analiticamente, de fato

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{p (x)}{{(x - a)}^{p}} d x & = {\frac{f (a)}{1! (1 - p)} {(x - a)}^{1 - p} + \dots + \frac{f^{(m)} (a)}{m! (m - p)} {(x - a)}^{m - p}|}_{a}^{b} . \end{aligned} \end{matrix}

(9.219)

Exemplo 9.8.2. Consideremos a integral imprópria

I = \int_{0}^{1} \frac{e^{- x}}{\sqrt{x}} d x .

(9.220)

Computando o polinômio de Taylor de grau 4 de $f (x) = e^{- x}$ em torno de $x = 0$ , obtemos

p (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} .

(9.221)

Então, escrevemos

I = \underset{I_{1}}{\underset{︸}{\int_{0}^{1} \frac{e^{- x} - p (x)}{\sqrt{x}} d x}} + \underset{I_{2}}{\underset{︸}{\int_{0}^{1} \frac{p (x)}{\sqrt{x}} d x}} .

(9.222)

Calculando $I_{2}$ analiticamente, temos

\begin{matrix} \begin{aligned} I_{2} & = \int_{0}^{1} \frac{p (x)}{\sqrt{x}} d x \\ = {2 x^{1 ∕ 2} - \frac{2}{3} x^{3 ∕ 2} + \frac{2}{10} x^{(5 ∕ 2)} - \frac{2}{42} x^{7 ∕ 2} + \frac{2}{216} x^{9 ∕ 2}|}_{0}^{1} \\ = 2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{10} - \frac{2}{42} + \frac{2}{216} \\ = 1, 4950 . \end{aligned} \end{matrix}

(9.223)

Agora, computamos a integral $I_{1}$ numericamente usando a regra composta do ponto médio. A seguinte tabela apresenta os resultados para as aproximações obtidas para $I_{1}$ e consequentemente para $I = I_{1} + I_{2}$ :


n	h	$I_{2}$	$I$

1	1	$- 3, 39657 E - 4$	1,49463
10	$1 0^{- 1}$	$- 1, 31240 E - 3$	1,49366
$1 0^{2}$	$1 0^{- 2}$	$- 1, 32515 E - 3$	1,49365
$1 0^{3}$	$1 0^{- 3}$	$- 1, 32528 E - 3$	1,49365

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