Método de Romberg

Cálculo Numérico - Versão Scilab

9.5 Método de Romberg

O método de Romberg é um algoritmo projetado para construir quadraturas de alta ordem de forma iterativa a partir do método dos trapézios.

Considere o método de trapézios composto aplicado à integral

\int_{a}^{b} f (x) d x .

(9.128)

Defina $I (h)$ a aproximação desta integral pelo método dos trapézios composto com malha de largura constante igual a h. Aqui $h = \frac{b - a}{N_{i}}$ para algum $N_{i}$ inteiro, isto é:

I (h) = \frac{h}{2} [f (a) + 2 \sum_{j = 2}^{N_{i}} f (x_{j}) + f (b)], N_{i} = \frac{b - a}{h}

(9.129)

Teorema 9.5.1. Se $f (x)$ é uma função analítica no intervalo $(a, b)$ , então a função $I (h)$ admite uma representação na forma

I (h) = I_{0} + I_{2} h^{2} + I_{4} h^{4} + I_{6} h^{6} + \dots

(9.130)

Para um demonstração, veja [4]. Em especial observamos que

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{h \to 0} I (h) = I_{0}

(9.131)

Ou seja, o valor exato da integral procurada é dado pelo coeficiente $I_{0}$ .

A ideia central do método de Romberg, agora, consiste em usar a extrapolação de Richardson para construir métodos de maior ordem a partir do métodos dos trapézios para o intervalo $(a, b)$

Exemplo 9.5.1. Construção do método de quarta ordem. $\begin{array}{rcl} I (h) & = & I_{0} + I_{2} h^{2} + I_{4} h^{4} + I_{6} h^{6} + \dots & (9.132) \\ (9.133) \\ I (\frac{h}{2}) & = & I_{0} + I_{2} \frac{h^{2}}{4} + I_{4} \frac{h^{4}}{16} + I_{6} \frac{h^{6}}{64} + \dots & (9.134) \\ (9.135) \end{array}$

Usamos agora uma eliminação gaussiana para obter o termo $I_{0}$ : $\begin{array}{rcl} \frac{4 I (h ∕ 2) - I (h)}{3} = I_{0} - \frac{1}{4} I_{4} h^{4} - \frac{5}{16} I_{6} h^{6} + \dots & (9.136) \end{array}$

Vamos agora aplicar a fórmula para $h = b - a$ , $\begin{array}{rcl} I (h) & = & \frac{h}{2} [f (a) + f (b)] & (9.137) \\ I (h ∕ 2) & = & \frac{h}{4} [f (a) + 2 f (c) + f (b)], c = \frac{a + b}{2} . & (9.138) \\ (9.139) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{4 I (h ∕ 2) - I (h)}{3} & = & \frac{h}{3} [f (a) + 2 f (c) + f (b)] - \frac{h}{6} [f (a) + f (b)] & (9.140) \\ = & \frac{h}{6} [f (a) + 4 f (c) + f (b)] . & (9.141) \end{array}$

Note que este esquema obtido coincide com o método de Simpson.

A partir de agora, a fim de deduzir o caso geral, utilizaremos a seguinte notação: $\begin{array}{rcl} R_{1, 1} & = & I (h), & (9.142) \\ R_{2, 1} & = & I (h ∕ 2), & (9.143) \\ R_{3, 1} & = & I (h ∕ 4), & (9.144) \\ ⋮ & (9.145) \\ R_{n, 1} & = & I (h ∕ 2^{n - 1}) . & (9.146) \end{array}$

Observamos que os pontos envolvidos na quadratura $R_{k, 1}$ são os mesmos pontos envolvidos na quadratura $R (k - 1, 1)$ acrescidos dos pontos centrais, assim, temos a seguinte fórmula de recorrência:

R_{k, 1} = \frac{1}{2} R_{k - 1, 1} + \frac{h}{2^{k - 1}} \sum_{i = 1}^{2^{k - 2}} f (a + (2 i - 1) \frac{h}{2^{k - 1}})

(9.147)

Definimos $R_{k, 2}$ para $k \geq 2$ como o esquema de ordem quatro obtido da fórmula do Exemplo 9.5.1:

R_{k, 2} = \frac{4 R_{k, 1} - R_{k - 1, 1}}{3}

(9.148)

Os valores $R_{k, 2}$ representam então os valores obtidos pelo método de Simpson composto aplicado a uma malha composta de $2^{k - 1} + 1$ pontos.

Similarmente os valores de $R_{k, j}$ são os valores obtidos pela quadratura de ordem $2 j$ obtida via extrapolação de Richardson. Pode-se mostrar que

R_{k, j} = R_{k, j - 1} + \frac{R_{k, j - 1} - R_{k - 1, j - 1}}{4^{j - 1} - 1} .

(9.149)

Exemplo 9.5.2. Construa o esquema de Romberg para aproximar o valor de $\int_{0}^{2} e^{x^{2}} d x$ com erro de ordem 8.

O que nos fornece os seguintes resultados:


55,59815	0,000000	0,000000	0,000000
30,517357	22,157092	0,000000	0,000000
20,644559	17,353626	17,033395	0,000000
17,565086	16,538595	16,484259	16,475543

Ou seja, temos:

\int_{0}^{2} e^{x^{2}} d x \approx 16, 475543

(9.150)

usando uma aproximação de ordem 8.

Exemplo 9.5.3. Construa o esquema de Romberg para aproximar o valor de $\int_{0}^{2} x^{2} e^{x^{2}} d x$ com erro de ordem 12.

O que nos fornece:


218,3926

111,91458	76,421909

66,791497	51,750469	50,105706

51,892538	46,926218	46,604601	46,549028

47,782846	46,412949	46,378731	46,375146	46,374464

46,72661	46,374531	46,37197	46,371863	46,37185	46,371847

Ou seja, temos:

\int_{0}^{2} x^{2} e^{x^{2}} d x \approx 46, 371847

(9.151)

com uma aproximação de ordem 12.

Exercícios

E 9.5.1. Para cada integrando, encontre o função $I (h) = a_{0} + a_{1} h + a_{2} h^{2} + a_{3} h^{3} + a_{4} h^{4}$ que melhor se ajusta aos dados, onde $h = \frac{1}{n - 1}$ . Discuta os resultados com base no teorema envolvido na construção do método de Romberg.

Resposta.

a) I (h) = 4.41041 \cdot 1 0^{- 1} - 8.49372 \cdot 1 0^{- 12} h - 1.22104 \cdot 1 0^{- 2} h^{2} - 1.22376 \cdot 1 0^{- 7} h^{3} + 8.14294 \cdot 1 0^{- 3} h^{4}

(9.152)

b) I (h) = 7.85398 \cdot 1 0^{- 1} - 1.46294 \cdot 1 0^{- 11} h - 4.16667 \cdot 1 0^{- 2} h^{2} - 2.16110 \cdot 1 0^{- 7} h^{3} + 4.65117 \cdot 1 0^{- 6} h^{4}

(9.153)

c) I (h) = 1.58730 \cdot 1 0^{- 3} - 9.68958 \cdot 1 0^{- 10} h + 2.03315 \cdot 1 0^{- 7} h^{2} - 1.38695 \cdot 1 0^{- 5} h^{3} + 2.97262 \cdot 1 0^{- 4} h^{4}

(9.154)

d) I (h) = 4.61917 \cdot 1 0^{- 1} + 3.83229 \cdot 1 0^{- 12} h + 2.52721 \cdot 1 0^{- 2} h^{2} + 5.48935 \cdot 1 0^{- 8} h^{3} + 5.25326 \cdot 1 0^{- 4} h^{4}

(9.155)

E 9.5.2. Calcule os valores da quadratura de Romberg de $R_{1, 1}$ até $R_{4, 4}$ para $\int_{0}^{π} sen (x) d x$ . Não use rotinas prontas neste problema.

Resposta.




1.5707963	2.0943951

1.8961189	2.0045598	1.9985707

1.9742316	2.0002692	1.9999831	2.0000055

E 9.5.3. Sem usar rotinas prontas, use o método de integração de Romberg para obter a aproximação $R_{3, 3}$ das seguintes integrais:

a): $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$
b): $\int_{0}^{2} \sqrt{2 - cos (x)} d x$
c): $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2 - cos (x)}} d x$

Resposta. a) 0.7468337; b) 2.4606311; c) 1.6595275.

E 9.5.4. Encontre uma expressão para $R_{2, 2}$ em termos de $f (x)$ e verifique o método de Romberg $R_{2, 2}$ é equivalente ao método de Simpson.

E 9.5.5. Considere o problema de aproximar numericamente o valor de

\int_{0}^{100} (e^{\frac{1}{2} cos (x)} - 1) d x

(9.156)

pelo método de Romberg. Usando rotinas prontas, faça o que se pede.

a): Calcule $R (6, k), k = 1, \dots, 6$ e observe os valores obtidos.
b): Calcule $R (7, k), k = 1, \dots, 6$ e observe os valores obtidos.
c): Calcule $R (8, k), k = 1, \dots, 6$ e observe os valores obtidos.
d): Discuta os resultados anteriores e proponha uma estratégia mais eficiente para calcular o valor da integral.