10.8 Métodos de Runge-Kutta implícitos

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Nas seções anteriores contruímos os métodos de Runge-Kutta implícito, nesta seção veremos uma nova família de métodos chamados implícitos. Nos métodos implícitos o processo recursivo produz uma equação implícita para $y^{\left(n+1\right)}$ em termos de $y^{\left(n\right)}$, como por exemplo:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}{y}^{\left(n+1\right)}& =y^{\left(n\right)}+h{y}^{\left(n+1\right)}\\ y^{\left(1\right)}& =1\end{array}& \end{array}$$

(10.203)

para resolver o problema de valor inicial dado por: $$\begin{array}{rcll}{y}^{\prime }\left(t\right)& =& y\left(t\right)& \text{(10.204)}\\ y\left(0\right)& =& 1& \text{(10.205)}\end{array}$$

Note que este método é implícito pois a expressão que define a iteração depende de $u^{\left(n+1\right)}$ dos dois lados da Equação (10.203), exigindo que o termo seja isolado para a aplicação do método.

10.8.1 Método de Euler implícito

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Contruiremos, agora, o mais simples dos métodos para resolver problemas de valor inicial: o método de Euler implícito, uma variante do método de Euler (explícito) que vimos na Seção 10.2. Seguinte o mesmo raciocício daquela seção, integramos o problema de valor inicial dado por $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }\left(t\right)& =& f\left(t,u\left(t\right)\right)& \text{(10.206)}\\ u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =& a& \text{(10.207)}\end{array}$$

de $t^{\left(1\right)}$ até $t^{\left(2\right)}$ obtemos (como feito anteriormente) para obter $$\begin{array}{rcll}u\left(t^{\left(2\right)}\right)& =& u\left(t^{\left(1\right)}\right)+{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.208)}\end{array}$$

Diferentemente do método de Euler estudado, o método de Euler implícito aproxima a função $f\left(t,u\right)$ pela uma função constante $f\left(t,u\left(t\right)\right)\approx f\left(t^{\left(2\right)},u^{\left(2\right)}\right)$ e, assim, obtemos o seguinte esquema: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(2\right)}& =& u^{\left(1\right)}+hf\left(t^{\left(2\right)},u^{\left(2\right)}\right)& \text{(10.209)}\end{array}$$

Generalizando este procedimento para $t_n$ obtemos o método de Euler implícito $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(n+1\right)}=u^{\left(n\right)}+hf\left(t^{\left(n+1\right)},u^{\left(n+1\right)}\right).& & & \text{(10.210)}\end{array}$$

Note que este método é implícito (a equação é implícita) pois depende de $u_{n+1}$ dos dois lados da equação. Se a função $f$ for simples o suficiente, podemos resolver a equação isolando o termo $u_{n+1}$. Se isso não for possível, devemos usar um dos métodos vistos anteriormente para calcular as raízes da equação (por exemplo, método da bissecção e método de Newton).

10.8.2 O método trapezoidal

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O método de Euler aproxima a função $f\left(t,u\right)$ como uma constante no intervalo $\left[t^{\left(1\right)},t^{\left(2\right)}\right]$. O método trapezoidal é muito semelhante ao método de Euler melhorado estudado na Seção 10.3, integramos de $t^{\left(1\right)}$ até $t^{\left(2\right)}$ a equação diferencial envolvida no problema de valor inicial

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}{u}^{\prime }\left(t\right)& =f\left(t,u\left(t\right)\right),t>t^{\left(1\right)}\\ u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =a.\end{array}& \end{array}$$

(10.217)

para obter: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}{u}^{\prime }\left(t\right)dt& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.218)}\\ u\left(t^{\left(2\right)}\right)-u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.219)}\\ u\left(t^{\left(2\right)}\right)& =& u\left(t^{\left(1\right)}\right)+{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.220)}\end{array}$$

Exatamente como no método de Euler melhorado, aplicamos a regra do trapézio (ver 9.2.2) à integral envolvida no lado direito da expressão, isto é: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt=\left[\frac{f\left(t^{\left(1\right)},u\left(t^{\left(1\right)}\right)\right)+f\left(t^{\left(2\right)},u\left(t^{\left(2\right)}\right)\right)}{2}\right]h+O\left(h^3\right)& & & \text{(10.221)}\end{array}$$

onde $h=t^{\left(2\right)}-t^{\left(1\right)}$.

Repetindo este procedimento para cada $n$, obtemos o esquema iterativo do método trapezoidal: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(n+1\right)}& =& u^{\left(n\right)}+\frac{h}{2}\left(f\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)+f\left(t^{\left(n+1\right)},u^{\left(n+1\right)}\right)\right)& \text{(10.222)}\\ u^{\left(1\right)}& =& a& \text{(10.223)}\end{array}$$

10.8.3 O método theta

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O método theta é uma generalização dos métodos de Euler e trapezoidal. A relação de recorrência do método theta é dada por: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(n+1\right)}& =u^{\left(n\right)}+h\left(\theta f\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)+\left(1-\theta \right)f\left(t^{\left(n+1\right)},u^{\left(n+1\right)}\right)\right)& & \text{(10.230)}\end{array}$$

Observe que quando $\theta =1$, a relação recai no método de Euler, quando $\theta =\frac{1}{2}$, no método trapezoidal e quando $\theta =0$, no método de Euler implícito.

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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