10.9 O método de Taylor

Uma maneira alternativa de aumentar a ordem dos métodos de Euler anteriormente descritos consiste em truncar a série de Taylor de $u\left(t+h\right)$: $$\begin{array}{rcll}u\left(t+h\right)=u\left(t\right)+h{u}^{\prime }\left(t\right)+\frac{h^2}{2!}{u}^{″}\left(t\right)+\frac{h^3}{3!}{u}^{‴}\left(t\right)+\dots & & & \text{(10.242)}\end{array}$$

Utilizando dois termos temos o método de Euler. Utilizando os três primeiros termos da série e substituindo $u^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\right)$ e $u^{″}\left(t\right)=\frac{df}{dt}\left(t,x\right)$ temos o método de Taylor de ordem $2$ $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(n+1\right)}& =& u^{\left(n\right)}+hf\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)& \text{(10.243)}\\ & +& \frac{h^2}{2!}\left[\frac{\partial }{\partial t}f\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)+\frac{\partial }{\partial u}f\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)f\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)\right]& \text{(10.244)}\end{array}$$

onde usamos a regra da cadeida para obter: $$\begin{array}{rcll}\frac{d}{dt}f\left(t,u\right)=\frac{\partial }{\partial t}f\left(t,u\right)+\frac{\partial }{\partial u}f\left(t,u\right)u^{\prime }\left(t\right)=\frac{\partial }{\partial t}f\left(t,u\right)+\frac{\partial }{\partial u}f\left(t,u\right)f\left(t,u\right)& & & \text{(10.245)}\end{array}$$

O método de Taylor de ordem $3$ é $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(n+1\right)}=u^{\left(n\right)}+hf\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)+\frac{h^2}{2!}\frac{df}{dt}\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)+\frac{h^3}{3!}\frac{d^{2}f}{d{t}^2}\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)& & & \text{(10.246)}\end{array}$$

Exercícios resolvidos

Exercícios