Método de Adams-Bashforth

Cálculo Numérico - Versão Scilab

10.10 Método de Adams-Bashforth

Seja o problema de valor inicial $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = f (t, u (t)) & (10.247) \\ u (t_{0}) & = a & (10.248) \end{array}$

Nos métodos de passo simples, os valores calculados para $f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))$ nos passos anteriores são desprezados ao calcular o próximo passo. Nos métodos de passo múltiplo, os valores de $f (t, u))$ , nos passos $n$ , $n + 1$ , ..., $n + s - 1$ são utilizados ao calcular $f$ em $t^{(n + s)}$ .

Integrando a equação diferencial no intervalo $[t^{(n + s - 1)}, t^{(n + s)}]$ , obtemos:

u^{(n + s)} = u^{(n + s - 1)} + \int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} f (t, u (t)) d t

(10.249)

No método de Adams-Bashforth, o integrando em (10.249) é aproximado pelo polinômio que interpola $f (t^{(k)}, u^{(k)})$ para $k = n, n + 1, n + 2, \dots, n + s - 1$ , isto é: $\begin{array}{rcl} u^{(n + s)} & = & u^{(n + s - 1)} + \int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} p (t) d t & (10.250) \end{array}$

onde $p (t)$ é polinômio de grau $s - 1$ dado na forma de Lagrange por:

p (t) = \sum_{j = 0}^{s - 1} [f (t^{(n)}, u^{(n)}) \prod_{k = 0, k \neq j}^{s - 1} \frac{t - t^{(n + k)}}{t^{(n + j)} - t^{(n + k)}}]

(10.251)

Agora observamos que

\int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} p (t) d t = h \sum_{j = 0}^{s - 1} β_{j} f (t^{(n + j)}, u^{(n + j)})

(10.252)

onde

β_{j} = \frac{1}{h} \int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} \prod_{k = 0, k \neq j}^{s - 1} \frac{t - t^{(n + k)}}{t^{(n + j)} - t^{(n + k)}} d t

(10.253)

e obtemos a relação de recorrência: $\begin{array}{rcl} u^{(n + s)} & = & u^{(n + s - 1)} + h \sum_{j = 0}^{s - 1} β_{j} f (t^{(n + j)}, u^{(n + j)}) & (10.254) \end{array}$

Observe que a integral envolvida no cálculo dos coeficientes $β_{j}$ em (10.253) pode ser simplificada via a mudança de variáveis $t = t^{(n + s - 1)} + h τ$ : $\begin{array}{rcl} β_{j} & = & \int_{0}^{1} \prod_{k = 0, k \neq j}^{s - 1} \frac{τ + s - k - 1}{j - k} d τ & (10.255) \\ = & \frac{{(- 1)}^{s - j - 1}}{j! (s - j - 1)!} \int_{0}^{1} \prod_{k = 0, k \neq j}^{s - 1} (τ + s - k - 1) d τ & (10.256) \\ = & \frac{{(- 1)}^{s - j - 1}}{j! (s - j - 1)!} \int_{0}^{1} \prod_{k = 0, k \neq s - j - 1}^{s - 1} (τ + k) d τ & (10.257) \end{array}$

Observação 10.10.1 (Ordem do método de Adasm-Bashforth). Da teoria de interpolação (ver capítulos 6 e 9), temos que o erro de aproximação da integral de uma função suficientemente suave por um polinômio interpolador em $s$ pontos é de ordem $s + 1$ . Assim, o erro local de truncamento do método de Adams-Bashforth com $s$ passos é $s + 1$ e, portanto, o erro global de truncamente é de ordem $s$ .

Exemplo 10.10.1. Calcule os coeficientes de Adams-Bashforth para $s = 2$ e, depois, construa seu processo iterativo. $\begin{array}{rcl} β_{0} & = & - \int_{0}^{1} (τ + 2 - 1 - 1) d τ = - \frac{1}{2} & (10.258) \\ β_{1} & = & \int_{0}^{1} (τ + 2 - 0 - 1) d τ = \frac{3}{2} & (10.259) \end{array}$

O processo iterativo é dado por:

y^{(n + 2)} = y^{(n)} + \frac{h}{2} [3 f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) - f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))]

(10.260)

Exemplo 10.10.2. Calcule os coeficientes e de Adams-Bashforth para $s = 3$ e, depois, construa o processo iterativo. $\begin{array}{rcl} β_{0} & = & \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (τ + 3 - 1 - 1) \cdot (τ + 3 - 2 - 1) d τ = \frac{5}{12} & (10.261) \\ β_{1} & = & - \int_{0}^{1} (τ + 3 - 0 - 1) \cdot (τ + 3 - 2 - 1) d τ = - \frac{4}{3} & (10.262) \\ β_{2} & = & \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (τ + 3 - 0 - 1) \cdot (τ + 3 - 1 - 1) d τ = \frac{23}{12} & (10.263) \end{array}$

O processo iterativo é dado por:

y^{(n + 3)} = y^{(n)} + \frac{h}{12} [23 f (t^{(n + 2)}, u (t^{(n + 2)})) - 16 f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) + 5 f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))]

(10.264)

Observação 10.10.2. Os coeficientes do método de Adams-Bashforth de ordem $s$ podem, alternativamente, ser obtidos exigindo que o sistema seja exato para $f (t, u) = t^{0}$ , $f (t, u) = t^{1}$ , $f (t, u) = t^{2}$ , …, $f (t, u) = t^{s - 1}$ .

Exemplo 10.10.3. Obtenha o método de Adams-Bashforth para $s = 4$ como $\begin{array}{rcl} u^{(n + 4)} & = & u^{(n + 3)} + \int_{t^{(n + 3)}}^{t^{(n + 4)}} f (t, u (t)) d t & (10.265) \\ u^{(n + 4)} & = & u^{(n + 3)} + h \sum_{m = 0}^{3} b_{m} f^{(n + m)} & (10.266) \\ u^{(n + 4)} & = & u^{(n + 3)} + h [b_{3} f^{(n + 3)} + b_{2} f^{(n + 2)} + b_{1} f^{(n + 1)} + b_{0} f^{(n)}] & (10.267) \end{array}$

Para isso devemos obter $[b_{3}, b_{2}, b_{1}, b_{0}]$ tal que o método seja exato para polinômios até ordem $3$ . Podemos obter esses coeficientes de maneira análoga a obter os coeficientes de um método para integração.

Supondo que os nós $t^{(k)}$ estejam igualmente espaçados, e para facilidade dos cálculos, como o intervalo de integração é $[t^{(n + 3)}, t^{(n + 4)}]$ , translade $t^{(n + 3)}$ para a origem tal que $[t^{(n)}, t^{(n + 1)}, \dots, t^{(n + 4)}] = [- 3 h, - 2 h, - h, 0, h]$ .

Considere a base $[1, t, t^{2}, t^{3}]$ e substitua $f (t)$ por cada um dos elementos desta basa, obtendo: $\begin{array}{rcl} \int_{0}^{h} 1 d t = h & = & h [b_{0} (1) + b_{1} (1) + b_{2} (1) + b_{3} (1)] & (10.268) \\ \int_{0}^{h} t d t = \frac{h^{2}}{2} & = & h [b_{0} (0) + b_{1} (- h) + b_{2} (- 2 h) + b_{3} (- 3 h)] & (10.269) \\ \int_{0}^{h} t^{2} d t = \frac{h^{3}}{3} & = & h [b_{0} {(0)}^{2} + b_{1} {(- h)}^{2} + b_{2} {(- 2 h)}^{2} + b_{3} {(- 3 h)}^{2}] & (10.270) \\ \int_{0}^{h} t^{3} d t = \frac{h^{4}}{4} & = & h [b_{0} {(0)}^{3} + b_{1} {(- h)}^{3} + b_{2} {(- 2 h)}^{3} + b_{3} {(- 3 h)}^{3}] & (10.271) \end{array}$

que pode ser escrito na forma matricial $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & - 1 & - 8 & - 27 \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 ∕ 2 \\ 1 ∕ 3 \\ 1 ∕ 4 \end{matrix}) & (10.272) \end{array}$

Resolvendo o sistema obtemos

[b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}] = [- \frac{9}{24}, \frac{37}{24}, - \frac{59}{24}, \frac{55}{24}]

(10.273)

fornecendo o método de Adams-Bashforth de $4$ estágios $\begin{array}{rcl} u^{(n + 4)} & = u^{(n + 3)} + \frac{h}{24} [55 f^{(n + 3)} - 59 f^{(n + 2)} + 37 f^{(n + 1)} - 9 f^{(n)}] & (10.274) \end{array}$

A tabela abaixo mostra as coeficientes do método de Adams-Bashforth para até 8 passos.


1	1
2	$- \frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
3	$\frac{5}{12}$	$- \frac{4}{3}$	$\frac{23}{12}$
4	$- \frac{3}{8}$	$\frac{37}{24}$	- $\frac{59}{24}$	$\frac{55}{24}$
5	$\frac{251}{720}$	- $\frac{637}{360}$	$\frac{109}{30}$	- $\frac{1387}{360}$	$\frac{1901}{720}$
6	$- \frac{95}{288}$	$\frac{959}{480}$	$- \frac{3649}{720}$	$\frac{4991}{720}$	$- \frac{2641}{480}$	$\frac{4277}{1440}$
7	$\frac{19087}{60480}$	$- \frac{5603}{2520}$	$\frac{135713}{20160}$	$- \frac{10754}{945}$	$\frac{235183}{20160}$	$- \frac{18637}{2520}$	$\frac{198721}{60480}$
8	$- \frac{5257}{17280}$	$\frac{32863}{13440}$	$- \frac{115747}{13440}$	$\frac{2102243}{120960}$	$- \frac{296053}{13440}$	$\frac{242653}{13440}$	$- \frac{1152169}{120960}$	$\frac{16083}{4480}$

Observação 10.10.3. Note que os métodos de múltiplo passo requerem o conhecimento dos $s$ valores previamente computados para calcular $y^{(n + s)}$ . Assim, para inicializar um algoritmo com mais de um passo, não é suficiente conhecer a condição inicial. Usualmente, calcula-se os primeiros $s$ passos usando um algoritmo de passo simples da mesma ordem do método múltiplo passo a ser aplicado.

Exercícios resolvidos

ER 10.10.1. Resolva numericamente o problema de valor inicial dado por: $\begin{array}{rcl} y^{'} (t) & = & \sqrt{1 + y (t)} & (10.275) \\ y (0) & = & 0 & (10.276) \end{array}$

aplicando o método de Adams-Bashforth de dois passos e inicializando o método através do método de Euler modificado. Calcule o valor de $y (1)$ com passo de tamanho $h = 0, 1$ .

Solução. Primeiro observamos que o processo resursivo do método de Adams é dado por:

y^{(n + 2)} = y^{(n + 1)} + \frac{h}{2} [3 f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) - f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))], n = 1, 2, \dots

(10.277)

O valor inicial é dado por $y^{(1)} = 0$ . No entanto, para inicializar o método, precisamos calcular $y^{(2)}$ , para tal, aplicamos o método de Euler modificado: $\begin{array}{rcl} k_{1} & = & \sqrt{1 + 0} = 1 & (10.278) \\ k_{2} & = & \sqrt{1 + 0, 1} = \sqrt{1, 1} \approx 1, 0488088 & (10.279) \\ y^{(2)} & = & \frac{0, 1}{2} (1 + 1, 0488088) = 0, 10244044 & (10.280) \end{array}$

Aplicando o método de Adams-Bashforth, obtemos: $\begin{array}{rcl} y^{(1)} & = & 0 & (10.281) \\ y^{(2)} & = & 0, 10244044 & (10.282) \\ y^{(3)} & = & 0, 20993619 & (10.283) \\ y^{(4)} & = & 0, 32243326 & (10.284) \\ y^{(5)} & = & 0, 43993035 & (10.285) \\ y^{(6)} & = & 0, 56242745 & (10.286) \\ y^{(7)} & = & 0, 68992455 & (10.287) \\ y^{(8)} & = & 0, 82242165 & (10.288) \\ y^{(9)} & = & 0, 95991874 & (10.289) \\ y^{(10)} & = & 1, 10241584 & (10.290) \\ y^{(11)} & = & 1, 24991294 & (10.291) \end{array}$

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