Representação de números em máquina

Cálculo Numérico - Versão Scilab

2.4 Representação de números em máquina

Os computadores, em geral, usam a base binária para representar os números, onde as posições, chamadas de bits, assumem as condições “verdadeiro” ou “falso”, ou seja, $1$ ou $0$ , respectivamente. Os computadores representam os números com uma quantidade fixa de bits, o que se traduz em um conjunto finito de números representáveis. Os demais números são tomados por proximidade àqueles conhecidos, gerando erros de arredondamento. Por exemplo, em aritmética de computador, o número $2$ tem representação exata, logo $2^{2} = 4$ , mas $\sqrt{3}$ não tem representação finita, logo ${(\sqrt{3})}^{2} \neq 3$ .

Veja isso no Scilab:

-->2^2 == 4
ans  =
  T
-->sqrt(3)^2 == 3
ans  =
  F

2.4.1 Números inteiros

Tipicamente, um número inteiro é armazenado em um computador como uma sequência de dígitos binários de comprimento fixo denominado registro.

Representação sem sinal

Um registro com $n$ bits da forma


$d_{n - 1}$	$d_{n - 2}$	$\dots$	$d_{1}$	$d_{0}$

representa o número ${(d_{n - 1} d_{n - 2} . . . d_{1} d_{0})}_{2}$ .

Assim, é possível representar números inteiros entre $2^{n} - 1$ e $0$ , sendo

\begin{matrix} \begin{aligned} [111 \dots 111] & = 2^{n - 1} + 2^{n - 2} + \dots + 2^{1} + 2^{0} = 2^{n} - 1, \\ ⋮ \\ [000 \dots 011] & = 3, \\ [000 \dots 010] & = 2, \\ [000 \dots 001] & = 1, \\ [000 \dots 000] & = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

(2.44)

Exemplo 2.4.1. No Scilab,

-->uint8( bin2dec(’00000011’) )
ans = 3
-->uint8( bin2dec(’11111110’) )
ans = 254

Representação com bit de sinal

O bit mais significativo (o primeiro à esquerda) representa o sinal: por convenção, $0$ significa positivo e $1$ significa negativo. Um registro com $n$ bits da forma


$s$	$d_{n - 2}$	$\dots$	$d_{1}$	$d_{0}$

representa o número ${(- 1)}^{s} {(d_{n - 2} \dots d_{1} d_{0})}_{2}$ . Assim, é possível representar números inteiros entre $- 2^{n - 1}$ e $2^{n - 1}$ , com duas representações para o zero: ${(1000 \dots 000)}_{2}$ e ${(00000 \dots 000)}_{2}$ .

Exemplo 2.4.2. Em um registro com $8$ bits, teremos os números

\begin{matrix} \begin{aligned} [11111111] & = - (2^{6} + \dots + 2 + 1) = - 127, \\ ⋮ \\ [10000001] & = - 1, \\ [10000000] & = - 0, \\ [01111111] & = 2^{6} + \dots + 2 + 1 = 127, \\ ⋮ \\ [00000010] & = 2, \\ [00000001] & = 1, \\ [00000000] & = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

(2.45)

Representação complemento de dois

O bit mais significativo (o primeiro à esquerda) representa o coeficiente de $- 2^{n - 1}$ . Um registro com $n$ bits da forma:


$d_{n - 1}$	$d_{n - 2}$	$\dots$	$d_{1}$	$d_{0}$

representa o número $- d_{n - 1} 2^{n - 1} + {(d_{n - 2} \dots d_{1} d_{0})}_{2}$ .

Observação 2.4.1. Note que todo registro começando com $1$ será um número negativo.

Exemplo 2.4.3. O registro com $8$ bits $[01000011]$ representa o número:

- 0 (2^{7}) + {(1000011)}_{2} = 2^{6} + 2 + 1 = 67 .

(2.46)

Agora, o registro $[10111101]$ representa:

- 1 (2^{7}) + {(0111101)}_{2} = - 128 + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 1 = - 67 .

(2.47)

Note que podemos obter a representação de $- 67$ invertendo os dígitos de $67$ em binário e somando $1$ .

Exemplo 2.4.4. Em um registro com $8$ bits, teremos os números

\begin{matrix} \begin{aligned} [11111111] & = - 2^{7} + 2^{6} + \dots + 2 + 1 = - 1 \\ ⋮ \\ [10000001] & = - 2^{7} + 1 = - 127 \\ [10000000] & = - 2^{7} = - 128 \\ [01111111] & = 2^{6} + \dots + 2 + 1 = 127 \\ ⋮ \\ [00000010] & = 2 \\ [00000001] & = 1 \\ [00000000] & = 0 \end{aligned} \end{matrix}

(2.48)

2.4.2 Sistema de ponto fixo

O sistema de ponto fixo representa as partes inteira e fracionária do número com uma quantidade fixas de dígitos.

Exemplo 2.4.5. Em um computador de 32 bits que usa o sistema de ponto fixo, o registro


$d_{31}$	$d_{30}$	$d_{29}$	$\dots$	$d_{1}$	$d_{0}$

pode representar o número

${(- 1)}^{d_{31}} {(d_{30} d_{29} \dots d_{17} d_{16}, d_{15} d_{14} \dots d_{1} d_{0})}_{2}$ se o sinal for representado por um dígito. Observe que, neste caso, o zero possui duas representações possíveis:
$[10000000000000000000000000000000]$ (2.49)

e
$[00000000000000000000000000000000]$ (2.50)

{(d_{30} d_{29} \dots d_{17} d_{16})}_{2} - d_{31} (2^{15} - 2^{- 16}) + {(0, d_{15} d_{14} \dots d_{1} d_{0})}_{2}

se o sinal do número estiver representado por uma implementação em complemento de um. Observe que o zero também possui duas representações possíveis:

[11111111111111111111111111111111]

(2.51)

[00000000000000000000000000000000]

(2.52)

${(d_{30} d_{29} \dots d_{17} d_{16})}_{2} - d_{31} 2^{15} + {(0, d_{15} d_{14} \dots d_{1} d_{0})}_{2}$ se o sinal do número estiver representado por uma implementação em complemento de dois. Nesse caso o zero é unicamente representado por
$[00000000000000000000000000000000]$ (2.53)

Observe que $16$ dígitos são usados para representar a parte fracionária, $15$ são para representar a parte inteira e um dígito, o $d_{31}$ , está relacionado ao sinal do número.

2.4.3 Sistema de ponto flutuante

O sistema de ponto flutuante não possui quantidade fixa de dígitos para as partes inteira e fracionária do número.

Podemos definir uma máquina $F$ em ponto flutuante de dois modos:

F (β, | M |, | E |, B I A S) ou F (β, | M |, E_{M I N}, E_{M A X})

(2.54)

onde

$β$ é a base (em geral $2$ ou $10$ ),
$| M |$ é o número de dígitos da mantissa,
$| E |$ é o número de dígitos do expoente,
$B I A S$ é um valor de deslocamento do expoente (veja a seguir),
$E_{M I N}$ é o menor expoente,
$E_{M A X}$ é o maior expoente.

Considere uma máquina com um registro de $64$ bits e base $β = 2$ . Pelo padrão IEEE754, $1$ bit é usado para o sinal, $11$ bits para o expoente e $52$ bits são usados para o significando tal que


$s$	$c_{10}$	$c_{9}$	$\dots$	$c_{0}$	$m_{1}$	$m_{2}$	$\dots$	$m_{51}$	$m_{52}$

represente o número (o $B I A S = 1023$ por definição)

x = {(- 1)}^{s} M \times 2^{c - B I A S},

(2.55)

onde a característica é representada por

c = {(c_{10} c_{9} \dots c_{1} c_{0})}_{2} = c_{10} 2^{10} + \dots + c_{1} 2^{1} + c_{0} 2^{0}

(2.56)

e o significando por

M = {(1 . m_{1} m_{2} \dots m_{51} m_{52})}_{2} .

(2.57)

Observação 2.4.2. Em base $2$ não é necessário armazenar o primeiro dígito (por quê?).

Exemplo 2.4.6. O registro

[0 | 100 0000 0000 | 1010 0000 0000 \dots 0000 0000]

(2.58)

representa o número

{(- 1)}^{0} (1 + 2^{- 1} + 2^{- 3}) \times 2^{1024 - 1023} = (1 + 0.5 + 0.125) 2 = 3.25 .

(2.59)

O expoente deslocado

Uma maneira de representar os expoentes inteiros é deslocar todos eles uma mesma quantidade. Desta forma permitimos a representação de números negativos e a ordem deles continua crescente. O expoente é representado por um inteiro sem sinal do qual é deslocado o BIAS.

Tendo $| E |$ dígitos para representar o expoente, geralmente o $B I A S$ é predefinido de tal forma a dividir a tabela ao meio de tal forma que o expoente um seja representado pelo sequência $[100 \dots 000]$ .

Exemplo 2.4.7. Com $64$ bits, pelo padrão $I E E E 754$ , temos que $| E | : = 11$ . Assim, ${(100 0000 0000)}_{2} = 2^{10} = 1024$ . Como queremos que esta sequência represente o $1$ , definimos $B I A S : = 1023$ , pois

1024 - B I A S = 1 .

(2.60)

Com $32$ bits, temos $| E | : = 8$ e $B I A S : = 127$ . E com $128$ bits, temos $| E | : = 15$ e $B I A S : = 16383$ .

Com $| E | = 11$ temos

\begin{matrix} \begin{aligned} [111 1111 1111] & = reservado \\ [111 1111 1110] & = 2046 - B I A S = 102 3_{10} = E_{M A X} \\ ⋮ & = \\ [100 0000 0001] & = 2^{10} + 1 - B I A S = 2_{10} \\ [100 0000 0000] & = 2^{10} - B I A S = 1_{10} \\ [011 1111 1111] & = 1023 - B I A S = 0_{10} \\ [011 1111 1110] & = 1022 - B I A S = - 1_{10} \\ ⋮ & = \\ [000 0000 0001] & = 1 - B I A S = - 1022 = E_{M I N} \\ [000 0000 0000] & = reservado \end{aligned} \end{matrix}

(2.61)

O maior expoente é dado por $E_{M A X} = 1023$ e o menor expoente é dado por $E_{M I N} = - 1022$ .

O menor número representável positivo é dado pelo registro

[0 | 000 0000 0001 | 0000 0000 0000 \dots 0000 0000]

(2.62)

quando $s = 0$ , $c = 1$ e $M = {(1.000 . . . 000)}_{2}$ , ou seja,

M I N R = {(1 + 0)}_{2} \times 2^{1 - 1023} \approx 0.2225 \times 1 0^{- 307} .

(2.63)

O maior número representável é dado por

[0 | 111 1111 1110 | 1111 1111 \dots 1111 1111]

(2.64)

quando $s = 0$ , $c = 2046$ e $M = {(1.1111 1111 \dots 1111)}_{2} = 2 - 2^{- 52}$ , ou seja,

M A X R = (2 - 2^{- 52}) \times 2^{2046 - 1023} \approx 2^{1024} \approx 0.17977 \times 1 0^{309} .

(2.65)

Observação 2.4.3. O menor número positivo, o maior número e o menor número subnormal representáveis no Scilab são:

-->MINR=number_properties(’tiny’)
-->MAXR=number_properties(’huge’)
-->number_properties(’tiniest’)

Outras informações sobre a representação em ponto flutuante podem ser obtidas com help number_properties.

Casos especiais

O zero é um caso especial representado pelo registro

[0 | 000 0000 0000 | 0000 0000 0000 . . . 0000 0000]

(2.66)

Os expoentes reservados são usados para casos especiais:

$c = [0000 . . . 0000]$ é usado para representar o zero (se $m = 0$ ) e os números subnormais (se $m \neq 0$ ).
$c = [1111 . . . 1111]$ é usado para representar o infinito (se $m = 0$ ) e NaN (se $m \neq 0$ ).

Os números subnormais⁸ tem a forma

x = {(- 1)}^{s} {(0 . m_{1} m_{2} \dots m_{51} m_{52})}_{2} \times 2^{1 - B I A S} .

(2.67)

2.4.4 Precisão e épsilon de máquina

A precisão $p$ de uma máquina é o número de dígitos significativos usado para representar um número. Note que $p = | M | + 1$ em binário e $p = | M |$ para outras bases.

O épsilon de máquina, $ϵ_{m a c h} = ϵ$ , é definido de forma que $1 + ϵ$ seja o menor número representável maior que $1$ , isto é, $1 + ϵ$ é representável, mas não existem números representáveis em $(1, 1 + ϵ)$ .

Exemplo 2.4.8. Com $64$ bits, temos que o épsilon será dado por

\begin{matrix} \begin{aligned} 1 & \to {(1.0000 0000 . . . . 0000)}_{2} \times 2^{0} \\ ϵ & \to + {(0.0000 0000 . . . . 0001)}_{2} \times 2^{0} = 2^{- 52} \\ {(1.0000 0000 . . . . 0001)}_{2} \times 2^{0} \neq 1 \end{aligned} \end{matrix}

(2.68)

Assim, $ϵ = 2^{- 52}$ .

Observação 2.4.4. No Scilab, o épsilon de máquina é representado pela constante %eps. Observe os seguintes resultados:

-->1 + 1e-16 == 1
ans  =
  T
-->1 + %eps == 1
ans  =
  F

2.4.5 Distribuição dos números

Utilizando uma máquina em ponto flutuante, temos um número finito de números que podemos representar.

Um número muito pequeno geralmente é aproximado por zero (underflow) e um número muito grande (overflow) geralmente faz o cálculo parar. Além disso, os números não estão uniformemente espaçados no eixo real. Números pequenos estão bem próximos enquanto que números com expoentes grandes estão bem distantes.

Se tentarmos armazenar um número que não é representável, devemos utilizar o número mais próximo, gerando os erros de arredondamento.

Observação 2.4.5. O chamado modo de exceção de ponto flutuante é controlado pela função ieee. O padrão do Scilab é ieee(0). Estude os seguintes resultados das seguintes operações usando os diferentes modos de exceção:

-->2*number_properties(’huge’), 1/2^999, 1/0, 1/-0

Exercícios

E 2.4.1. Usando a representação complemento de dois de números inteiros com $8$ bits, escreva o número decimal que corresponde aos seguintes barramentos:

a): $[01100010]$ .
b): $[00011101]$ .
c): $[10000000]$ .
d): $[11100011]$ .
e): $[11111111]$

Resposta. a)

2^{6} + 2^{5} + 2^{1} = 98

; b)

2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{0} = 29

; c)

- 2^{7}

; d)

- 2^{7} + 2^{6} + 2^{5} + 2^{1} + 2^{0} = - 29

; e)

- 2^{7} + 2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0} = - 1

. Observe que o dígito mais significativo (mais à esquera) tem peso negativo.

E 2.4.2. Usando a representação complemento de dois de números inteiros com $16$ bits, escreva o número decimal que corresponde aos seguintes barramentos:

a): $[0110001001100010]$ .
b): $[0001110100011101]$ .
c): $[1110001011100011]$ .
d): $[1111111111111111]$ .

Resposta. a)

25186

; b)

7453

; c)

- 7453

; d)

- 1

E 2.4.3. Usando a representação de ponto flutuante com $64$ bits, escreva o número decimal que corresponde aos seguintes barramentos:

a): $[0 | 10000000000 | 111000 \dots 0]$ .
b): $[1 | 10000000001 | 0111000 \dots 0]$ .

Resposta. a)

3, 75

; b)

- 5, 75

E 2.4.4. Explique a diferença entre o sistema de ponto fixo e ponto flutuante.

E 2.4.5. Considere a seguinte rotina escrita para ser usada no Scilab:

     x=1
     while x+1>x
         x=x+1
     end

Explique se esta rotina finaliza em tempo finito, em caso afirmativo calcule a ordem de grandeza do tempo de execução supondo que cada passo do laço demore $1 0^{- 7} s$ . Justifique sua reposta.

Resposta. Devido à precisão finita do sistema de numeração, o laço para quando x for suficientemente grande em comparação a 1 a ponto de x+1 ser aproximado para 1. Isso acontece quando 1 é da ordem do épsilon de máquina em relação a x, isto é, quando

x \approx 2 ∕ % e p s

. O tempo de execução fica em torno de 28 anos.

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:36:32.

Recursos

Projeto

IME - UFRGS
- Página do IME
- Página da UFRGS

UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Contato: reamat@ufrgs.br.

Informe erros ou edite você mesmo!