Tipos de erros

Cálculo Numérico - Versão Scilab

2.5 Tipos de erros

Em geral, os números não são representados de forma exata nos computadores. Isto nos leva ao chamado erro de arredondamento. Quando resolvemos problemas com técnicas numéricas, estamos sujeitos a este e outros tipos de erros. Nesta seção, veremos quais são estes erros e como controlá-los, quando possível.

Quando fazemos aproximações numéricas, os erros são gerados de várias formas, sendo as principais delas as seguintes:

1.: Incerteza dos dados são devidos aos erros nos dados de entrada. Quando o modelo matemático é oriundo de um problema físico, existe incerteza nas medidas feitas pelos instrumentos de medição, que possuem acurácia finita.
2.: Erros de Arredondamento são aqueles relacionados com as limitações existentes na forma de representar números em máquina.
3.: Erros de Truncamento surgem quando aproximamos um conceito matemático formado por uma sequência infinita de passos por de um procedimento finito. Por exemplo, a definição de integral é dada por um processo de limite de somas. Numericamente, aproximamos por um soma finita. O erro de truncamento deve ser estudado analiticamente para cada método empregado e normalmente envolve matemática mais avançada que a estudado em um curso de graduação.

Uma questão fundamental é a quantificação dos erros imbricados na computação da solução de um dado problema. Para tanto, precisamos definir medidas de erros (ou de exatidão). As medidas de erro mais utilizadas são o erro absoluto e o erro relativo.

Definição 2.5.1 (Erro absoluto e relativo). Seja $x$ um número real e $\bar{x}$ , sua aproximação. O erro absoluto da aproximação $\bar{x}$ é definido como

| x - \bar{x} | .

(2.69)

O erro relativo da aproximação $\bar{x}$ é definido como

\frac{| x - \bar{x} |}{| x |}, x \neq 0 .

(2.70)

Observação 2.5.1. Observe que o erro relativo é adimensional e, muitas vezes, é expresso em porcentagens. Mais precisamente, o erro relativo em porcentagem da aproximação $\bar{x}$ é dado por

\frac{| x - \bar{x} |}{| x |} \times 100 % .

(2.71)

Exemplo 2.5.1. Sejam $x = 123456, 789$ e sua aproximação $\bar{x} = 123000$ . O erro absoluto é

| x - \bar{x} | = | 123456, 789 - 123000 | = 456, 789

(2.72)

e o erro relativo é

\frac{| x - \bar{x} |}{| x |} = \frac{456, 789}{123456, 789} \approx 0, 00369999 ou 0, 36 %

(2.73)

Exemplo 2.5.2. Sejam $y = 1, 23456789$ e $ȳ = 1, 13$ . O erro absoluto é

| y - ȳ | = | 1, 23456789 - 1, 13 | = 0, 10456789

(2.74)

que parece pequeno se compararmos com o exemplo anterior. Entretanto o erro relativo é

\frac{| y - ȳ |}{| y |} = \frac{0, 10456789}{1, 23456789} \approx 0, 08469999 ou 8, 4 %

(2.75)

Note que o erro relativo leva em consideração a escala do problema.

Exemplo 2.5.3. Observe os erros absolutos e relativos em cada caso a seguir:


$x$	$\bar{x}$	Erro absoluto	Erro relativo

$0, \bar{3} \times 1 0^{- 2}$	$0, 3 \times 1 0^{- 2}$	$0, \bar{3} \times 1 0^{- 3}$	$10 %$
$0, \bar{3}$	$0, 3$	$0, \bar{3} \times 1 0^{- 2}$	$10 %$
$0, \bar{3} \times 1 0^{2}$	$0, 3 \times 1 0^{2}$	$0, \bar{3} \times 1 0^{1}$	$10 %$

Outra forma de medir a exatidão de uma aproximação numérica é contar o número de dígitos significativos corretos em relação ao valor exato.

Definição 2.5.2 (Número de dígitos significativos corretos). A aproximação $\bar{x}$ de um número $x$ tem $s$ dígitos significativos corretos quando⁹

\frac{| x - \bar{x} |}{| x |} < 5 \times 1 0^{- s} .

(2.77)

Exemplo 2.5.4. Vejamos os seguintes casos:

A aproximação de $x = 0, 333333$ por $\bar{x} = 0, 333$ tem $3$ dígitos significativos corretos, pois
$\frac{| x - \bar{x} |}{| x |} = \frac{0, 000333}{0, 333333} \approx 0, 000999 \leq 5 \times 1 0^{- 3} .$ (2.78)

Considere as aproximações

{\bar{x}}_{1} = 0, 666

{\bar{x}}_{2} = 0, 667

x = 0, 666888

. Os erros relativos são

\frac{| x - {\bar{x}}_{1} |}{| x |} = \frac{| 0, 666888 - 0, 666 |}{0, 666888} \approx 0, 00133 . . . < 5 \times 1 0^{- 3} .

(2.79)

\frac{| x - {\bar{x}}_{2} |}{| x |} = \frac{| 0, 666888 - 0, 667 |}{0, 666888} \approx 0, 000167 . . . < 5 \times 1 0^{- 4} .

(2.80)

Note que ${\bar{x}}_{1}$ possui $3$ dígitos significativos corretos e ${\bar{x}}_{2}$ possui $4$ dígitos significativos (o quarto dígito é o dígito $0$ que não aparece a direita, i.e, ${\bar{x}}_{2} = 0.6670$ . Isto também leva a conclusão que $x_{2}$ aproxima melhor o valor de $x$ do que $x_{1}$ pois está mais próximo de $x$ .

$\bar{x} = 9, 999$ aproxima $x = 10$ com $4$ dígitos significativos corretos, pois
$\frac{| x - \bar{x} |}{| x |} = \frac{| 10 - 9, 999 |}{10} \approx 0, 0000999 . . . < 5 \times 1 0^{- 4} .$ (2.81)
Considere as aproximações ${\bar{x}}_{1} = 1, 49$ e ${\bar{x}}_{2} = 1, 5$ de $x = 1$ . Da definição, temos que $1, 49$ aproxima $1$ com um dígito significativo correto (verifique), enquanto $1, 5$ tem zero dígito significativo correto, pois:
$\frac{| 1 - 1, 5 |}{| 1 |} = 5 \times 1 0^{- 1} < 5 \times 1 0^{0} .$ (2.82)

Exercícios

E 2.5.1. Calcule os erros absoluto e relativo das aproximações $\bar{x}$ para $x$ em cada caso:

a): $x = π = 3, 14159265358979 \dots$ e $\bar{x} = 3, 141$
b): $x = 1, 00001$ e $\bar{x} = 1$
c): $x = 100001$ e $\bar{x} = 100000$

Resposta. a)

ε_{a b s} = 5, 9 \times 1 0^{- 4}

ε_{r e l} = 1, 9 \times 1 0^{- 2} %

; b)

ε_{a b s} = \times 1 0^{- 5}

ε_{r e l} = \times 1 0^{- 3} %

; c)

ε_{a b s} = 1

ε_{r e l} = 1 0^{- 5} %

E 2.5.2. Arredonde os seguintes números para cinco algarismos significativos:

a): $1, 7888544$
b): $1788, 8544$
c): $0, 0017888544$
d): $0, 004596632$
e): $2, 1754999 \times 1 0^{- 10}$
f): $2, 1754999 \times 1 0^{10}$

Resposta. a)

1, 7889

; b)

1788, 9

; c)

0, 0017889

; d)

0, 0045966

; e)

2, 1755 \times 1 0^{- 10}

; f)

2, 1755 \times 1 0^{10}

E 2.5.3. Represente os seguintes números com três dígitos significativos usando arredondamento por truncamento e arredondamento por proximidade.

a): $3276$ .
b): $42, 55$ .
c): $0, 00003331$ .

Resposta. a)

3270

3280

; b)

42, 5

42, 6

; c)

0, 0000333

0, 0000333

E 2.5.4. Usando a Definição 2.5.2, verifique quantos são os dígitos significativos corretos na aproximação de $x$ por $\bar{x}$ .

a): $x = 2, 5834$ e $\bar{x} = 2, 6$
b): $x = 100$ e $\bar{x} = 99$

Resposta. a)

2

; b)

2

E 2.5.5. Resolva a equação $0, 1 x - 0, 01 = 12$ usando arredondamento com três dígitos significativos em cada passo e compare com o resultado exato.

Resposta.

\begin{array}{rcl} 0, 1 x - 0, 01 & = & 12 & (2.83) \\ 0, 1 x & = & 12 + 0, 01 = 12, 01 & (2.84) \\ x & = & 120, 1 & (2.85) \end{array}

A resposta exata é $120, 1$ .

E 2.5.6. Calcule o erro relativo e absoluto envolvido nas seguintes aproximações e expresse as respostas com três algarismos significativos corretos.

a): $x = 3, 1415926535898$ e $\tilde{x} = 3, 141593$
b): $x = \frac{1}{7}$ e $\tilde{x} = 1, 43 \times 1 0^{- 1}$

Resposta. a)

δ_{abs} = 3, 46 \times 1 0^{- 7}

δ_{rel} = 1, 10 \times 1 0^{- 7}

; b)

δ_{abs} = 1, 43 \times 1 0^{- 4}

δ_{rel} = 1, 00 \times 1 0^{- 3}

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