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Cálculo Numérico - Versão Scilab

2.5 Tipos de erros


Em geral, os números não são representados de forma exata nos computadores. Isto nos leva ao chamado erro de arredondamento. Quando resolvemos problemas com técnicas numéricas, estamos sujeitos a este e outros tipos de erros. Nesta seção, veremos quais são estes erros e como controlá-los, quando possível.

Quando fazemos aproximações numéricas, os erros são gerados de várias formas, sendo as principais delas as seguintes:

1.
Incerteza dos dados são devidos aos erros nos dados de entrada. Quando o modelo matemático é oriundo de um problema físico, existe incerteza nas medidas feitas pelos instrumentos de medição, que possuem acurácia finita.
2.
Erros de Arredondamento são aqueles relacionados com as limitações existentes na forma de representar números em máquina.
3.
Erros de Truncamento surgem quando aproximamos um conceito matemático formado por uma sequência infinita de passos por de um procedimento finito. Por exemplo, a definição de integral é dada por um processo de limite de somas. Numericamente, aproximamos por um soma finita. O erro de truncamento deve ser estudado analiticamente para cada método empregado e normalmente envolve matemática mais avançada que a estudado em um curso de graduação.

Uma questão fundamental é a quantificação dos erros imbricados na computação da solução de um dado problema. Para tanto, precisamos definir medidas de erros (ou de exatidão). As medidas de erro mais utilizadas são o erro absoluto e o erro relativo.

Definição 2.5.1 (Erro absoluto e relativo). Seja x um número real e x¯, sua aproximação. O erro absoluto da aproximação x¯ é definido como

|x -x¯|. (2.69)

O erro relativo da aproximação x¯ é definido como

|x -x¯| |x| ,x0. (2.70)

Observação 2.5.1. Observe que o erro relativo é adimensional e, muitas vezes, é expresso em porcentagens. Mais precisamente, o erro relativo em porcentagem da aproximação x¯ é dado por

|x -x̄| |x| × 100%. (2.71)

Exemplo 2.5.1. Sejam x = 123456,789 e sua aproximação x̄ = 123000. O erro absoluto é

|x -x̄| = |123456,789 - 123000| = 456,789 (2.72)

e o erro relativo é

|x -x̄| |x| = 456,789 123456,789 0,00369999 ou 0,36% (2.73)

Exemplo 2.5.2. Sejam y = 1,23456789 e ȳ = 1,13. O erro absoluto é

|y -ȳ| = |1,23456789 - 1,13| = 0,10456789 (2.74)

que parece pequeno se compararmos com o exemplo anterior. Entretanto o erro relativo é

|y -ȳ| |y| = 0,10456789 1,23456789 0,08469999 ou 8,4% (2.75)

Note que o erro relativo leva em consideração a escala do problema.

Exemplo 2.5.3. Observe os erros absolutos e relativos em cada caso a seguir:





x x̄  Erro absoluto Erro relativo




0,3¯ × 10-2 0,3 × 10-2 0,3¯ × 10-3 10%
0,3¯ 0,3 0,3¯ × 10-2 10%
0,3¯ × 102 0,3 × 102 0,3¯ × 101 10%




Outra forma de medir a exatidão de uma aproximação numérica é contar o número de dígitos significativos corretos em relação ao valor exato.

Definição 2.5.2 (Número de dígitos significativos corretos). A aproximação x¯ de um número x tem s dígitos significativos corretos quando9

|x -x¯| |x| < 5 × 10-s. (2.77)

Exemplo 2.5.4. Vejamos os seguintes casos:

  • A aproximação de x = 0,333333 por x¯ = 0,333 tem 3 dígitos significativos corretos, pois
    |x -x¯| |x| = 0,000333 0,333333 0,000999 5 × 10-3. (2.78)
  • Considere as aproximações x̄1 = 0,666 e x̄2 = 0,667 de x = 0,666888. Os erros relativos são
    |x -x̄1| |x| = |0,666888 - 0,666| 0,666888 0,00133... < 5 × 10-3. (2.79)
    |x -x̄2| |x| = |0,666888 - 0,667| 0,666888 0,000167... < 5 × 10-4. (2.80)

    Note que x̄1 possui 3 dígitos significativos corretos e x̄2 possui 4 dígitos significativos (o quarto dígito é o dígito 0 que não aparece a direita, i.e, x̄2 = 0.6670. Isto também leva a conclusão que x2 aproxima melhor o valor de x do que x1 pois está mais próximo de x.

  • x¯ = 9,999 aproxima x = 10 com 4 dígitos significativos corretos, pois
    |x -x¯| |x| = |10 - 9,999| 10 0,0000999... < 5 × 10-4. (2.81)
  • Considere as aproximações x¯1 = 1,49 e x¯2 = 1,5 de x = 1. Da definição, temos que 1,49 aproxima 1 com um dígito significativo correto (verifique), enquanto 1,5 tem zero dígito significativo correto, pois:
    |1 - 1,5| |1| = 5 × 10-1 < 5 × 100. (2.82)

Exercícios


E 2.5.1. Calcule os erros absoluto e relativo das aproximações x̄ para x em cada caso:

a)
x = π = 3,14159265358979 e x̄ = 3,141
b)
x = 1,00001 e x̄ = 1
c)
x = 100001 e x̄ = 100000

Resposta. a) εabs = 5,9 × 10-4, εrel = 1,9 × 10-2%; b) εabs = 10-5, εrel = 10-5 = 10-3%; c) εabs = 1, εrel = 10-5%.

E 2.5.2. Arredonde os seguintes números para cinco algarismos significativos:

a)
1,7888544
b)
1788,8544
c)
0,0017888544
d)
0,004596632
e)
2,1754999 × 10-10
f)
2,1754999 × 1010

Resposta. a) 1,7889; b) 1788,9; c) 0,0017889; d) 0,0045966; e) 2,1755 × 10-10; f) 2,1755 × 1010.

E 2.5.3. Represente os seguintes números com três dígitos significativos usando arredondamento por truncamento e arredondamento por proximidade.

a)
 3276.
b)
 42,55.
c)
 0,00003331.

Resposta. a) 3270, 3280; b) 42,5, 42,6; c) 0,0000333, 0,0000333.

E 2.5.4. Usando a Definição 2.5.2, verifique quantos são os dígitos significativos corretos na aproximação de x por x̄.

a)
x = 2,5834 e x̄ = 2,6
b)
x = 100 e x̄ = 99

Resposta. a) 2; b) 2.

E 2.5.5. Resolva a equação 0,1x - 0,01 = 12 usando arredondamento com três dígitos significativos em cada passo e compare com o resultado exato.

Resposta. 0,1x - 0,01 = 12 (2.83) 0,1x = 12 + 0,01 = 12,01 (2.84) x = 120,1 (2.85)

A resposta exata é 120,1.

E 2.5.6. Calcule o erro relativo e absoluto envolvido nas seguintes aproximações e expresse as respostas com três algarismos significativos corretos.

a)
x = 3,1415926535898 e x̃ = 3,141593
b)
x = 1 7 e x̃ = 1,43 × 10-1

Resposta. a) δabs = 3,46 × 10-7, δrel = 1,10 × 10-7; b) δabs = 1,43 × 10-4, δrel = 1,00 × 10-3.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:48.

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