Representação decimal finita

Cálculo Numérico - Versão Scilab

2.3 Representação decimal finita

Em computadores, é usual representarmos números usando uma quantidade de dígitos finita. A quantidade a ser usada normalmente depende da precisão com que as computações estão sendo feitas. Ocorre que quando restringimos a representação a um número finito de dígitos, muitos números não podem ser representado de forma exata, por exemplo, as dízimas infinitas e os números irracionais. Este fenômeno nos leva aos conceitos de número de dígitos significativos e de arredondamento.

Definição 2.3.1 (Número de dígitos significativos). Um número decimal $x = \pm d_{0}, d_{- 1} \dots d_{- i} d_{- i - 1} \dots d_{- i - n} d_{- i - n - 1} \cdot \times 1 0^{E}$ é dito ter $n$ dígitos significativos quando $d_{j} = 0$ para $j \geq - i$ e $j \leq - i - n - 1$ .

Exemplo 2.3.1. O número $0, 0602100 \times 1 0^{- 3}$ tem $4$ dígitos significativos.

2.3.1 Arredondamento de números

Quando representamos um número $x$ com uma quantidade de dígitos menor que a de dígitos significativos acabamos com uma aproximação deste. Este procedimento é chamado arredondamento de um número. Mais precisamente, seja dado

x = \pm d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k - 1} d_{k} d_{k + 1} \dots d_{n} \times 1 0^{e}

(2.33)

em notação normalizada, isto é, $d_{0} \neq 0$ ⁵. Podemos representar $x$ com $k$ dígitos da seguinte forma:

1.

Arredondamento por truncamento (ou corte): aproximamos

x

por

\bar{x} = \pm d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} \times 1 0^{e}

(2.34)

simplesmente descartando os dígitos $d_{j}$ com $j > k$ .

2.

Arredondamento por proximidade⁶ : se

d_{k + 1} < 5

aproximamos

x

por

\bar{x} = \pm d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} \times 1 0^{e}

(2.35)

senão aproximamos $x$ por⁷

\bar{x} = \pm (d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} + 1 0^{- k}) \times 1 0^{e}

(2.37)

3.

Arredondamento por proximidade com desempate par: se

d_{k + 1} < 5

aproximamos

x

por

\bar{x} = \pm d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} \times 1 0^{e} .

(2.38)

Se $d_{k + 1}, d_{d + 2} d_{k + 3} \dots > 5$ aproximamos $x$ por

\bar{x} = \pm (d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} + 1 0^{- k}) \times 1 0^{e} .

(2.39)

Agora, no caso de empate, i.e. $d_{k + 1}, d_{k + 2} d_{k + 3} \dots = 5$ , então $x$ é aproximado por

\bar{x} = \pm d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} \times 1 0^{e}

(2.40)

caso $d_{k}$ seja par e, caso contrário, por

\bar{x} = \pm (d_{0}, d_{1} d_{2} \dots d_{k} + 1 0^{- k}) \times 1 0^{e} .

(2.41)

Observação 2.3.1. O arredondamento por proximidade é frequentemente empregado para arredondamentos de números reais para inteiros. Por exemplo:

$x = 1, 49$ arredonda-se para o inteiro $1$ .
$x = 1, 50$ arredonda-se para o inteiro $2$ .
$x = 2, 50$ arredonda-se para o inteiro $3$ .

No Scilab, temos:

-->round(1.49)
ans  =
    1.
-->round(1.50)
ans  =
    2.
-->round(2.50)
ans  =
    3.

Exemplo 2.3.2. Represente os números $x_{1} = 0, 567$ , $x_{2} = 0, 233$ , $x_{3} = - 0, 675$ e $x_{4} = 0, 314159265 \dots \times 1 0^{1}$ com dois dígitos significativos por truncamento e arredondamento.

Solução. Vejamos cada caso:

Por truncamento:

x_{1} = 0, 56, x_{2} = 0, 23, x_{3} = - 0, 67 e x_{4} = 3, 1 .

(2.42)

No Scilab, podemos obter a representação de $x_{3} = - 0, 675$ fazendo:

-->format(’v’,5)
-->-int(0.675*1e2)/1e2
ans =
- 0.67

e, em notação normalizada, temos:

-->format(’e’,8)
-->-int(0.675*1e2)/1e2
ans =
- 6.7D-01

Por arredondamento:
$x_{1} = 0, 57; x_{2} = 0, 23; x_{3} = - 0, 68 e x_{4} = 3, 1 .$ (2.43)

No Scilab, a representação de números por arredondamento por proximidade com desempate par é o padrão. Assim, para obtermos a representação desejada de $x_{3} = 0, 675$ fazemos:
-->format(’v’,5)
-->-0.675
ans  =
  - 0.68

e, em notação normalizada, temos:
-->format(’e’,8)
-->-0.675
ans  =
  - 6.8D-01

$♢$

Observação 2.3.2. Observe que o arredondamento pode mudar todos os dígitos e o expoente da representação em ponto flutuante de um número dado. Por exemplo, o arredondamento de $0, 9999 \times 1 0^{- 1}$ com $3$ dígitos significativos é $0, 1 \times 1 0^{0}$ .

Exercícios resolvidos

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Exercícios

E 2.3.1. Aproxime os seguintes números para 2 dígitos significativos por arredondamento por truncamento.

$1, 159$
$7, 399$
$- 5, 901$

Resposta. (a)

1, 1

; (b)

7, 3

; (c)

- 5, 9

E 2.3.2. Aproxime os seguintes números para 2 dígitos significativos por arredondamento por proximidade com desempate par.

$1, 151$
$1, 15$
$2, 45$
$- 2, 45$

Resposta. (a)

1, 2

; (b)

1, 2

; (c)

2, 4

; (d)

- 2, 4

E 2.3.3. O Scilab usa arredondamento por proximidade com desempate par como padrão. Assim sendo, por exemplo

--> printf(’%1.1e\n’, 1.25)
1.2e+00

Agora:

--> printf(’%1.1e\n’, 2.45)
2.5e+00

Não deveria ser $2.4$ ? Explique o que está ocorrendo.

Resposta.

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