Diagramas de espectro

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

4.3 Diagramas de espectro

Diagramas espectro são representações gráﬁcas dos coeﬁcientes de Fourier $C_{n}$ associados a uma função periódica $f (t)$ . Como os coeﬁcientes $C_{n}$ são números complexos, é comum representá-los na forma de módulo e fase, isto é:

C_{n} = | C_{n} | e^{i ϕ_{n}} .

(4.18)

O ângulo de fase assim deﬁnido coincide com o conceito de argumento do número $C_{n}$ .

Exemplo 4.3.1. A função

f (t) = - 1 + 2 \cos (t) + 4 sen (2 t)

(4.19)

é periódica com periodo fundamental $2 π$ e pode ser escrita na forma exponencial da seguinte forma: $\begin{array}{rcl} f (t) & = & - 1 + 2 (\frac{e^{i t} + e^{- i t}}{2}) + 4 (\frac{e^{2 i t} - e^{- 2 i t}}{2 i}) \\ = & 2 i e^{- 2 i t} + e^{- i t} - 1 + e^{i t} - 2 i e^{2 i t} \end{array}$

Assim, identiﬁcamos cinco coeﬁcientes não nulos:

\begin{matrix} C_{- 2} & = & 2 i = 2 e^{\frac{i π}{2}} & \Rightarrow & | C_{- 2} | = 2, & ϕ_{- 2} = \frac{π}{2} \\ C_{- 1} & = & 1 & \Rightarrow & | C_{- 1} | = 1, & ϕ_{- 1} = 0 \\ C_{0} & = & - 1 = 1 e^{π} & \Rightarrow & | C_{0} | = 1, & ϕ_{0} = π \\ C_{1} & = & 1 & \Rightarrow & | C_{1} | = 1, & ϕ_{1} = 0 \\ C_{2} & = & - 2 i = 2 e^{\frac{- i π}{2}} & \Rightarrow & | C_{2} | = 2, & ϕ_{2} = - \frac{π}{2} \end{matrix}

Os digramas de espectro de amplitude e fase são dados a seguir:

Exemplo 4.3.2. As primeiras raias do digrama de espectro da função do exemplo 4.2.2,

g (t) = \dots + \frac{2 i}{5 π} e^{- 5 i π t} + \frac{2 i}{3 π} e^{- 3 i π t} + \frac{2 i}{π} e^{- i π t} - \frac{2 i}{π} e^{i π t} - \frac{2 i}{3 π} e^{3 i π t} - \frac{2 i}{5 π} e^{5 i π t} - \dots,

(4.20)

são dados na ﬁgura a seguir

Exercícios

E 4.3.1. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro das seguintes funções periódicas:

$f (t) = sen (t)$
$f (t) = 3 \cos (π t)$
$f (t) = 1 + 4 \cos (π t)$
$f (t) = 2 \cos^{2} (2 π t)$
$f (t) = 8 sen^{3} (2 π t) + 2 \cos (6 π t)$
$f (t) = sen (2 π t) + \cos (3 π t)$

Observação: Considere a fase $ϕ$ no intervalo $- π < ϕ \leq π$

Resposta.

Observe que

sen (t) = \frac{1}{2 i} (e^{i t} - e^{- i t}) = \frac{i}{2} e^{- i t} - \frac{i}{2} e^{i t}

(4.21)

e a frequência angular fundamental é $w_{F} = 1$ . Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.

Observe que
$3 \cos (π t) = \frac{3}{2} (e^{i π t} + e^{- i π t}) = \frac{3}{2} e^{- i π t} + \frac{3}{2} e^{i π t}$ (4.22)

e a frequência angular fundamental é $w_{F} = π$ . Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.

Observe que

1 + 4 \cos (π t) = 1 + 2 (e^{i π t} + e^{- i π t}) = 1 + 2 e^{- i π t} + 2 e^{i π t}

(4.23)

e a frequência angular fundamental é $w_{F} = π$ . Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.

Observe que
$2 \cos^{2} (2 π t) = 2 {(\frac{e^{2 i π t} + e^{- 2 i π t}}{2})}^{2} = \frac{e^{- 4 i π t} + 2 + e^{4 i π t}}{2} = \frac{1}{2} e^{- 4 i π t} + 1 + \frac{1}{2} e^{4 i π t}$ (4.24)

e a frequência angular fundamental é $w_{F} = 4 π$ . Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.
Observe que $\begin{array}{rcl} 8 sen^{3} (2 π t) + 2 \cos (6 π t) & = & 8 {(\frac{e^{2 i π t} - e^{- 2 i π t}}{2 i})}^{3} + 2 (\frac{e^{6 i π t} + e^{- 6 i π t}}{2}) \\ = & (i + 1) e^{6 i π t} - 3 i e^{2 i π t} + 3 i e^{- 2 i π t} + (1 - i) e^{- 6 i π t} \\ = & \sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i} e^{6 i π t} + 3 e^{- \frac{π}{2} i} e^{2 i π t} + 3 e^{\frac{π}{2} i} e^{- 2 i π t} + \sqrt{2} e^{- \frac{π}{4} i} e^{- 6 i π t} \end{array}$
e a frequência angular fundamental é $w_{F} = 2 π$ . Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.
Observe que $\begin{array}{rcl} sen (2 π t) + \cos (3 π t) & = & (\frac{e^{2 i π t} - e^{- 2 i π t}}{2 i}) + (\frac{e^{3 i π t} + e^{- 3 i π t}}{2}) \\ = & - \frac{i}{2} e^{2 i π t} + \frac{i}{2} e^{- 2 i π t} + \frac{1}{2} e^{3 i π t} + \frac{1}{2} e^{- 3 i π t} \end{array}$
e a frequência angular fundamental é $w_{F} = π$ (ver exercício 3.1.4 na página 58). Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.

E 4.3.2. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro, indicando pelo menos as cinco primeiras raias positivas e negativas, das seguintes funções periódicas:

$f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{e^{i π n t}}{n^{2} + 1}$
$f (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sen (n t)}{n^{2}}$

Resposta.

Observe que

f (t)

já está na forma exponencial e a frequência fundamental é

w_{F} = π

. Também temos:

\begin{matrix} ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ n & ω_{n} & | C_{n} | & ϕ_{n} \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ - 5 & - 5 π & \frac{1}{{(- 5)}^{2} + 1} = \frac{1}{26} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ - 4 & - 4 π & \frac{1}{{(- 4)}^{2} + 1} = \frac{1}{17} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ - 3 & - 3 π & \frac{1}{{(- 3)}^{2} + 1} = \frac{1}{10} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ - 2 & - 2 π & \frac{1}{{(- 2)}^{2} + 1} = \frac{1}{5} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ - 1 & - π & \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 1} = \frac{1}{2} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ 0 & 0 & \frac{1}{{(0)}^{2} + 1} = 1 & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ 1 & 1 π & \frac{1}{1^{2} + 1} = \frac{1}{2} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ 2 & 2 π & \frac{1}{2^{2} + 1} = \frac{1}{5} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ 3 & 3 π & \frac{1}{3^{2} + 1} = \frac{1}{10} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ 4 & 4 π & \frac{1}{4^{2} + 1} = \frac{1}{17} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \\ 5 & 5 π & \frac{1}{5^{2} + 1} = \frac{1}{26} & 0 \\ ̲ & ̲ & ̲ & ̲ \end{matrix}

(4.25)

Veja o diagrama de amplitude na ﬁgura abaixo.

Começamos escrevendo a função

f (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sen (n t)}{n^{2}}

na forma exponencial:

\begin{array}{rcl} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sen (n t)}{n^{2}} & = & \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (\frac{e^{i n t} - e^{- i n t}}{2 i}) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 i n^{2}} e^{i n t} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{2 i n^{2}} e^{- i n t}) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{i}{2 n^{2}} e^{i n t}) + \sum_{n = - 1}^{- \infty} \frac{i}{2 n^{2}} e^{i n t} . \end{array}

A frequência angular fundamental é $w_{F} = 1$ e as amplitudes e fases são dados na tabela abaixo.

\begin{matrix} ̲ & ̲ & ̲ \\ ω_{n} = n & | C_{n} | & ϕ_{n} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ - 5 & \frac{1}{50} & \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ - 4 & \frac{1}{32} & \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ - 3 & \frac{1}{18} & \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ - 2 & \frac{1}{8} & \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ - 1 & \frac{1}{2} & \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ 0 & 0 & - \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ 1 & \frac{1}{2} & - \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ 2 & \frac{1}{8} & - \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ 3 & \frac{1}{18} & - \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ 4 & \frac{1}{32} & - \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \\ 5 & \frac{1}{50} & - \frac{π}{2} \\ ̲ & ̲ & ̲ \end{matrix}

(4.26)

Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.

E 4.3.3. Esboce os diagramas de espectro das séries de Fourier dos problemas 3.2.4 e 3.2.5 da página 86.

Resposta.

Problema 3.2.4 item a: $\begin{array}{rcl} f (t) & = & \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (2 n π t)}{4 n^{2} - 1} \\ = & \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2} - 1} (\frac{e^{2 n π i t} + e^{- 2 n π i t}}{2}) \\ = & \frac{2}{π} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{π (4 n^{2} - 1)} e^{2 n π i t} - \sum_{n = - 1}^{- \infty} \frac{2}{π (4 n^{2} - 1)} e^{2 n π i t} \end{array}$
Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.
Problema 3.2.5 item $\begin{array}{rcl} h (t) & = & \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{\cos (2 n π t)}{4 n^{2} - 1} \\ = & \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{4 n^{2} - 1} (\frac{e^{2 n π i t} + e^{- 2 n π i t}}{2}) \\ = & \frac{2}{π} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 {(- 1)}^{n}}{π (4 n^{2} - 1)} e^{2 n π i t} - \sum_{n = - 1}^{- \infty} \frac{2 {(- 1)}^{n}}{π (4 n^{2} - 1)} e^{2 n π i t} \end{array}$
Veja os diagramas de espectro na ﬁgura abaixo.

E 4.3.4. Mostre que se $f (t)$ é um deslocamento no tempo de $g (t)$ , isto é, $f (t) = g (t - k)$ , então os coeﬁciente de Fourier $C_{n}^{f}$ da função $f$ e $C_{n}^{g}$ da função $g$ são iguais em módulo e, portanto, possuem o mesmo diagrama de espectro de amplitude.

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