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Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

3.2 A transformada de Laplace da derivada de uma função


Teorema 3.2.1. (Propriedade da transformada da derivada) Se f(t) é contínua e de ordem exponencial e f(t) é contínua por partes para t 0, então

L{f(t)} = sL{f(t)} f(0). (3.10)

Demonstração. Primeiro considere f(t) e f(t) contínuas nos reais não negativos. Usando integração por partes na definição de transformada de Laplace, temos L{f(t)} = 0estf(t)dt = estf(t) 0 0(sest)f(t)dt = f(0) + s0estf(t)dt = f(0) + sL{f(t)}

Se f(t) for contínua por partes, então separamos as integrais em somas de tal forma que f(t) seja contínua em cada parcela. Aplicamos integração por partes em cada parcela e obtemos o resultado desejado.

Considere f(t) e f(t) contínuas e f(t) contínua por partes. Então podemos aplicar a expressão 3.10 duas vezes e obter: L{f(t)} = sL{f(t)} f(0) = s sL{f(t)} f(0) f(0) = s2L{f(t)} sf(0) f(0). (3.11)

Analogamente, se f(t),f(t),,f(n1)(t) são contínuas e f(n)(t) é contínua por partes, então L{f(n)(t)} = snL{f(t)} sn1f(0) sn2f(0) f(n1)(0). (3.12)

Vamos usar a propriedade 3.2.1 da transformada da derivada para calcular transformadas de Laplace.

Exemplo 3.2.1. Vamos calcular a transformada de f(t) = cos(t) usando a propriedade 3.2.1. Observe as derivadas:

f(t) = cos(t),f(t) = sen (t)ef(t) = cos(t). (3.13)

Logo,

f(t) = f(t). (3.14)

Aplicamos a transformada de Laplace e usamos a propriedade 3.2.1:

s2F(s) sf(0) f(0) = F(s). (3.15)

Usamos o fato que f(0) = cos(0) = 1 e f(0) = sen (0) = 0 e obtemos

s2F(s) s = F(s), (3.16)

ou seja,

F(s) = s s2 + 1, (3.17)

que confere com o item 14 da tabela A.1.

Exemplo 3.2.2. Agora, vamos calcular a transformada de g(t) = t cos(t) usando a propriedade 3.2.1 da transformada da derivada . Observe as derivadas:

g(t) = t sen (t) + cos(t) (3.18)

e

g(t) = t cos(t) sen (t) sen (t), (3.19)

ou seja,

g(t) = g(t) 2 sen (t). (3.20)

Aplicamos a transformada de Laplace e usamos a propriedade 3.2.1:

s2G(s) sg(0) g(0) = G(s) 2L{sen (t)}. (3.21)

Usamos o fato que g(0) = 0 cos(0) = 0, g(0) = 0 sen (0) + cos(0) = 1 e L{sen (t)} = 1 s2+1 e obtemos

s2G(s) 1 = G(s) 2 s2 + 1, (3.22)

isto é,

G(s) = s2 1 (s2 + 1)2, (3.23)

Exercícios


E 3.2.1. Dado f(t) = cosh(at), sabemos que f(t) = f(t), f(0) = cosh(0) = 1 e f(0) = a senh (0) = 0. Use essas informações e a propriedade da transformada da derivada para calcular L{f(t)}.

E 3.2.2. Use a propriedade da transformada da derivada para calcular a transformada das seguintes funções:

PIC PIC

Resposta.
  • F(s) = 1 s + ese2s s2
  • F(s) = 2 s + es+2e3se4s s2

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 8/5/2018 às 13:37:38.

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