Teorema 3.1.1. (Propriedade da linearidade) A transformada de Laplace é uma transformação linear, isto é,

sempre que cada uma das transformadas existirem.

Exemplo 3.1.1. A transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ já foi calculada no exemplo 2.1.5. Agora vamos calcular novamente usando o resultado do exemplo 2.1.4 e a linearidade da transformada de Laplace. Primeiro recordamos a fórmula de Euler para escrever exponenciais complexas em termos de senos e cossenos: $$\begin{array}{rcll}{e}^{iwt}& =& \cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)+i\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)& \\ & ou& & \\ e^{-iwt}& =& \cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)-i\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right).& \end{array}$$

As duas expressões podem ser resolvidas em termos do seno e do cosseno para obter $$\begin{array}{rcll}\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)& =& \frac{e^{iwt}-e^{-iwt}}{2i}& \text{(3.2)}\\ \cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)& =& \frac{e^{iwt}+e^{-iwt}}{2}& \text{(3.3)}\end{array}$$

Agora podemos calcular a transformada de Laplace do seno usando a expressão (3.2). $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right\}& =& \mathcal{L}\left\{\frac{e^{iwt}-e^{-iwt}}{2i}\right\}& \\ & =& \frac{1}{2i}\mathcal{L}\left\{e^{iwt}\right\}-\frac{1}{2i}\mathcal{L}\left\{e^{-iwt}\right\}& \\ & =& \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{s-iw}-\frac{1}{s+iw}\right)& \\ & =& \frac{1}{2i}\left(\frac{s+iw-\left(s-iw\right)}{\left(s-iw\right)\left(s+iw\right)}\right)& \\ & =& \frac{1}{2i}\left(\frac{2iw}{s^2+w^2}\right)& \\ & =& \frac{w}{s^2+w^2}& \end{array}$$

Exemplo 3.1.2. A transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=\mathrm{senh}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ pode ser calculada usando o resultado do exemplo 2.1.4 e as expressões em termos de exponenciais: $$\begin{array}{rcll}\mathrm{senh}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(at\right)& =& \frac{e^{at}-e^{-at}}{2}& \text{(3.4)}\\ \cosh <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(at\right)& =& \frac{e^{at}+e^{-at}}{2}.& \text{(3.5)}\end{array}$$

Aplicamos a propriedade 3.1.1 a expressão (3.4) e temos: $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{\mathrm{senh}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(at\right)\right\}& =& \mathcal{L}\left\{\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}\right\}& \\ & =& \frac{1}{2}\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\}-\frac{1}{2}\mathcal{L}\left\{e^{-at}\right\}& \\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}\right)& \\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{s+a-\left(s-a\right)}{\left(s-a\right)\left(s+a\right)}\right)& \\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{2a}{s^2-a^2}\right)& \\ & =& \frac{a}{s^2-a^2}& \end{array}$$

Exemplo 3.1.3. Vamos calcular a tranformada de Laplace da função $f\left(t\right)=wt-\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ usando propriedade de linearidade 3.1.1 e o exemplo 3.1.1: $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{wt-\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right\}& =& w\mathcal{L}\left\{t\right\}-\mathcal{L}\left\{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right\}& \\ & =& \frac{w}{s^2}-\frac{w}{s^2+w^2}& \\ & =& \frac{w\left(s^2+w^2\right)-w{s}^2}{s^2\left(s^2+w^2\right)}& \\ & =& \frac{w\left(s^2+w^2\right)-w{s}^2}{s^2\left(s^2+w^2\right)}=\frac{w^3}{s^2\left(s^2+w^2\right)}& \\ & & & \end{array}$$

Observação 3.1.1. A transformada inversa de Laplace também é uma transformação linear, isto é,

Esse resultado é consequência da propriedade de linearidade 3.1.1: $$\begin{array}{rcll}{\mathcal{L}}^{-1}\left\{\alpha F\left(s\right)+\beta G\left(s\right)\right\}& =& {\mathcal{L}}^{-1}\left\{\alpha \mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}+\beta \mathcal{L}\left\{g\left(t\right)\right\}\right\}& \\ & =& {\mathcal{L}}^{-1}\left\{\mathcal{L}\left\{\alpha f\left(t\right)+\beta g\left(t\right)\right\}\right\}& \\ & =& \alpha f\left(t\right)+\beta g\left(t\right).& \end{array}$$

Exemplo 3.1.4. Vamos calcular a tranformada inversa de Laplace da função $F\left(s\right)=\frac{2}{s}+\frac{4}{s^2}-\frac{1}{s-1}$ usando propriedade de linearidade 3.6 e a tabela 2.1: $$\begin{array}{rcll}{\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{2}{s}+\frac{4}{s^2}-\frac{1}{s-1}\right\}& =& 2{\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}+4{\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}-{\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\}& \\ & =& 2+4t-e^t& \end{array}$$

E 3.1.1. Use a propriedade de linearidade 3.1.1 para calcular a transformada de Laplace das seguintesfunções

• $f\left(t\right)=-8t+2\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(5t\right)$
• $f\left(t\right)=-3t^2\left(t-2\right)$
• $f\left(t\right)={\left(2t-3\right)}^3$
• $f\left(t\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->{\left(t\right)}^2$
• $f\left(t\right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->{\left(t\right)}^3$
• $f\left(t\right)=\cosh <!--FUNCTION\; APPLICATION-->{\left(t\right)}^3$
• $f\left(t\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$.
• $f\left(t\right)=e^{at}-e^{bt}$.
• $f\left(t\right)=\cosh <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(at\right)$.
• $f\left(t\right)=1-\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$.

E 3.1.2. Use a linearidade da transformada inversa para calcular a transformada inversa de Laplace das seguintes funções

• $F\left(s\right)=\frac{2s-8}{s^2+4}$
• $F\left(s\right)=2s\left(\frac{1}{s^2-4}+\frac{1}{s\left(s^2-4\right)}\right)$

E 3.1.3. Resolva os seguintes itens

• Use a definição para mostrar que $\mathcal{L}\left\{e^{zt}\right\}=\frac{1}{s-z}$, $z\in ℂ$.
• Use a fórmula do item a) para concluir que

  $$\mathcal{L}\left\{e^{\left(a+ib\right)t}\right\}=\frac{s-a+ib}{{\left(s-a\right)}^2+b^2}$$

  (3.7)

• Use a fórmula de Euler e o item b) para concluir que

  $$\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(bt\right)\right\}=\frac{s-a}{{\left(s-a\right)}^2+b^2}$$

  (3.8)

  e

  $$\mathcal{L}\left\{e^{at}\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(bt\right)\right\}=\frac{b}{{\left(s-a\right)}^2+b^2}$$

  (3.9)