Transformada de Laplace de funções periódicas

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

6.2 Transformada de Laplace de funções periódicas

Nesta seção apresentaremos uma propriedade da transformada de Laplace de funções periódicas e calcularemos algumas delas.

Teorema 6.2.1. (Propriedade da transformada de funções periódicas) Seja $f (t)$ uma função contínua por partes e periódica de período $T$ . Então sua transformada de Laplace é da forma

L {f (t)} = \frac{1}{1 - e^{- s T}} \int_{0}^{T} f (t) e^{- s t} d t .

(6.26)

Demonstração.Aplicamos a deﬁnição e separamos a integral nos períodos da função

f (t)

para obter:

\begin{array}{rcl} L {f (t)} & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = & \int_{0}^{T} f (t) e^{- s t} d t + \int_{T}^{2 T} f (t) e^{- s t} d t + \int_{3 T}^{4 T} f (t) e^{- s t} d t + \dots \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{n T}^{(n + 1) T} f (t) e^{- s t} d t . \end{array}

Fazemos a mudança de variável $τ = t - n T$ e obtemos $\begin{array}{rcl} L {f (t)} & = & \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{T} f (τ + n T) e^{- s (τ + n T)} d τ \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- s n T} \int_{0}^{T} f (τ + n T) e^{- s τ} d τ . \end{array}$

Usando o fato que a função é periódica, ou seja, $f (τ) = f (τ + n T)$ , temos: $\begin{array}{rcl} L {f (t)} & = & \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- s n T} \int_{0}^{T} f (τ) e^{- s τ} d τ \\ = & \int_{0}^{T} f (τ) e^{- s τ} d τ [\sum_{n = 0}^{\infty} {(e^{- s T})}^{n}] \\ = & \int_{0}^{T} f (τ) e^{- s τ} d τ [\frac{1}{1 - e^{- s T}}] \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s T}} \int_{0}^{T} f (τ) e^{- s τ} d τ, \end{array}$

onde usamos a soma de uma série geométrica de razão $e^{- s T}$ .

$■$

Exemplo 6.2.1. Observe o cálculo da transformada da função $f (t) = \cos (w t)$ sabendo que

\int \cos (w t) e^{- s t} d t = \frac{e^{- s t} (w sen (w t) - s \cos (w t))}{s^{2} + w^{2}} + C o n s t a n t e

(6.27)

e usando a propriedade 6.2.1: $\begin{array}{rcl} L {\cos (w t)} & = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{2 π}{w}}} \int_{0}^{\frac{2 π}{w}} \cos (w t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{2 π}{w}}} {[\frac{e^{- s t} (w sen (w t) - s \cos (w t))}{s^{2} + w^{2}}]}_{0}^{\frac{2 π}{w}} \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{2 π}{w}}} \frac{s - s e^{- s \frac{2 π}{w}}}{s^{2} + w^{2}} \\ = & \frac{s}{s^{2} + w^{2}} . \end{array}$

Exemplo 6.2.2. A função $f (t)$ apresentada no gráﬁco da ﬁgura 6.1 é chamada de onda quadrada de período $2 a$ .

Figura 6.1:

Calculamos a transformada de Laplace usando a propriedade 6.2.1 colocando $T = 2 a$ $\begin{array}{rcl} L {f (t)} & = & \frac{1}{1 - e^{- 2 s a}} \int_{0}^{2 a} f (t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{1 - e^{- 2 s a}} (\int_{0}^{a} e^{- s t} d t - \int_{a}^{2 a} e^{- s t} d t) \\ = & \frac{1}{1 - e^{- 2 s a}} (\frac{1 - 2 e^{- a s} + e^{- 2 a s}}{s}) \\ = & \frac{1}{(1 - e^{- s a}) (1 + e^{- s a})} (\frac{{(1 - e^{- a s})}^{2}}{s}) \\ = & \frac{1}{s} \frac{1 - e^{- a s}}{1 + e^{- s a}} . \end{array}$

Multiplicando por $e^{\frac{a s}{2}}$ , podemos escrever a expressão em termos de funções hiperbólicas: $\begin{array}{rcl} L {f (t)} & = & \frac{1}{s} \frac{e^{\frac{a s}{2}} - e^{- \frac{a s}{2}}}{e^{\frac{a s}{2}} + e^{- \frac{a s}{2}}} \\ = & \frac{1}{s} \frac{senh (\frac{a s}{2})}{\cosh (\frac{a s}{2})} \\ = & \frac{1}{s} \tanh (\frac{a s}{2}) . \end{array}$

Exemplo 6.2.3. A função $g (t)$ apresentada no gráﬁcoda ﬁgura 6.2 é chamada de onda triangular de perído $2 a$ .

Figura 6.2:

Para calcular a transformada de Laplace, observe que:

A função $g (t)$ representada na ﬁgura 6.2 tem como derivada uma onda quadrada. De fato, no intervalo $[0, a]$ , a derivada é $\frac{1}{a}$ e no intervalo $[a, 2 a]$ a derivada é $- \frac{1}{a}$ . Esse padrão se repete periodicamente. Logo, a derivada da onda triangular é a onda quadrada multiplicada por $\frac{1}{a}$ .
A propriedade 3.2.1 nos dá
$L {g (t)} = \frac{1}{s} L {g^{'} (t)} + \frac{1}{s} g (0) .$ (6.28)

Logo, $\begin{array}{rcl} L {o n d a t r i a n g u l a r} & = & \frac{1}{a s} L {o n d a q u a d r a d a} + \frac{1}{s} (o n d a t r i a n g u l a r n a o r i g e m), \end{array}$

e, portanto, usando o fato que a onda triangular vale zero na origem e o resultado do exemplo 6.2.2, temos $\begin{array}{rcl} L {g (t)} & = & \frac{1}{a s} \frac{1}{s} \tanh (\frac{a s}{2}) \\ = & \frac{1}{a s^{2}} \tanh (\frac{a s}{2}) . \end{array}$

Exemplo 6.2.4. A função $h (t)$ dada por

h (t) = \{\begin{matrix} sen (w t), & 0 < t < \frac{π}{w} \\ 0, & \frac{π}{w} < t < \frac{2 π}{w}, \end{matrix},

(6.29)

$h (t + \frac{2 π}{w}) = h (t)$ , é chamada de retiﬁcador de meia onda de período $\frac{2 π}{w}$ . A ﬁgura 6.3 apresenta o gráﬁco da função $h (t)$ .

Figura 6.3:

Calculamos a transformada de Laplace usando a propriedade 6.2.1 com $T = \frac{2 π}{w}$ $\begin{array}{rcl} L {f (t)} & = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{2 π}{w}}} \int_{0}^{\frac{2 π}{w}} f (t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{2 π}{w}}} \int_{0}^{\frac{π}{w}} sen (w t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{2 π}{w}}} {[- \frac{e^{- s t} (s sen (w t) + w \cos (w t))}{s^{2} + w^{2}}]}_{0}^{\frac{π}{w}} \\ = & \frac{1}{(1 - e^{- \frac{s π}{w}}) (1 + e^{- \frac{s π}{w}})} \frac{w (1 + e^{- \frac{s π}{w}})}{s^{2} + w^{2}} \\ = & \frac{1}{1 - e^{- \frac{s π}{w}}} \frac{w}{s^{2} + w^{2}} \end{array}$

Exemplo 6.2.5. A função $p (t)$ dada por

p (t) = | sen (w t) |

(6.30)

é chamada de retiﬁcador de onda completa de período $\frac{π}{w}$ . A ﬁgura 6.4 apresenta o gráﬁco da função $p (t)$ .

Figura 6.4:

Calculamos a transformada de Laplace usando a propriedade 6.2.1 com $T = \frac{π}{w}$ $\begin{array}{rcl} L {p (t)} & = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{π}{w}}} \int_{0}^{\frac{π}{w}} sen (w t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s \frac{π}{w}}} {[- \frac{e^{- s t} (sen (w t) + w \cos (w t))}{s^{2} + w^{2}}]}_{0}^{\frac{π}{w}} \\ = & \frac{1}{1 - e^{- \frac{s π}{w}}} \frac{w (1 + e^{- \frac{s π}{w}})}{s^{2} + w^{2}} \\ = & \frac{w}{s^{2} + w^{2}} \frac{e^{\frac{s π}{2 w}} + e^{- \frac{s π}{2 w}}}{e^{\frac{s π}{2 w}} - e^{- \frac{s π}{2 w}}} \\ = & \frac{w}{s^{2} + w^{2}} \coth (\frac{π s}{2 w}) \end{array}$

Exemplo 6.2.6. A função $q (t)$ dada por

\{\begin{matrix} q (t) = \frac{t}{a}, & 0 \leq t < a \\ q (t + a) = q (t), \end{matrix}

(6.31)

é chamada de onda dente de serra de período $T = a$ . A ﬁgura 6.5 apresenta o gráﬁco da função $q (t)$ .

Figura 6.5:

Calculamos a transformada de Laplace usando a propriedade 6.2.1 com $T = a$ : $\begin{array}{rcl} L {q (t)} & = & \frac{1}{1 - e^{- s a}} \int_{0}^{a} \frac{t}{a} e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s a}} \frac{1}{a} {[- \frac{e^{- s t} (1 + s t)}{s^{2}}]}_{0}^{a} \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s a}} \frac{1 - e^{- s a} (1 + a s)}{s^{2} a} \\ = & \frac{1}{1 - e^{- s a}} (\frac{1 - e^{- s a} - e^{- s a} a s}{)} s^{2} a) \\ = & \frac{1}{a s^{2}} - \frac{e^{- s a}}{s (1 - e^{- s a})} . \end{array}$

Exercícios

E 6.2.1. Faça o gráﬁco de $f (t)$ e calcule $L \{f (t) \}$ .

$f$ periódica de período $p = 4$ e $f (t) = \{\begin{matrix} 3 t, & s e t \in (0, 2) \\ 6, & s e t \in (2, 4) \end{matrix}$
$f$ periódica de período $p = 2 π$ e $f (t) = e^{t}$ , para $t \in (0, 2 π)$ .
$f (t) = | sen (ω t) |$ .

Resposta.

$y (t) = 10 \cos (2 t) + \frac{k}{8} (1 - \cos (2 (t - a))) u (t - a)$
$y (t) = 10 \cos (2 t) + \frac{k}{4} sen (2 t)$

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