Séries de potências

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

6.3 Séries de potências

6.3.1 Transformada de Laplace inversa de funções envolvendo expansão em séries de potências

Em algumas situações, é conveniente expandir em séries de potência um termo de uma função para calcular sua transformada inversa. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 6.3.1. Vamos calcular a transformada inversa da função $F (s) = \frac{1}{(s + 1) (1 - e^{- s})}$ , usando o fato que

\frac{1}{1 - e^{- s}} = 1 + e^{- s} + e^{- 2 s} + e^{- 3 s} + \dots .

(6.32)

E, portanto, temos:

F (s) = \frac{1}{s + 1} [1 + e^{- s} + e^{- 2 s} + e^{- 3 s} + \dots]

(6.33)

Como, pelo item 7 da tabela de transformadas $L^{- 1} \{\frac{1}{s + 1}\} = e^{- t} .$ Aplicando a propriedade do deslocamento no eixo $t$ , temos:

f (t) = e^{- t} + u (t - 1) e^{- (t - 1)} + u (t - 2) e^{- (t - 2)} + u (t - 3) e^{- (t - 3)} + \dots .

(6.34)

O gráﬁco desta função é apresentado na ﬁgura 6.6.

Figura 6.6:

Exemplo 6.3.2. Vamos calcular a transformada inversa da função $F (s) = \frac{e^{- s}}{s^{2}} \frac{{(1 - e^{- s})}^{2}}{1 - e^{- 3 s}}$ , usando o fato que

\frac{1}{1 - e^{- 3 s}} = 1 + e^{- 3 s} + e^{- 6 s} + e^{- 9 s} + \dots .

(6.35)

Agora observamos que se $g (t) = L^{- 1} \{\frac{e^{- s} {(1 - e^{- s})}^{2}}{s^{2}}\}$ , então: $\begin{array}{rcl} g (t) & = & L^{- 1} \{\frac{e^{- s} {(1 - e^{- s})}^{2}}{s^{2}}\} = L^{- 1} \{\frac{e^{- s} (1 - 2 e^{- s} + e^{- 2 s})}{s^{2}}\} \\ = & L^{- 1} \{\frac{e^{- s} - 2 e^{- 2 s} + e^{- 3 s}}{s^{2}}\} = u (t - 1) (t - 1) + u (t - 2) (4 - 2 t) + u (t - 3) (2 t - 4) \end{array}$

Desta forma, pela propriedade do deslocamento em $t$ , podemos escrever $\begin{array}{rcl} f (t) & = & g (t) + u (t - 3) g (t - 3) + u (t - 6) g (t - 6) + u (t - 9) g (t - 9) + \dots \\ = & g (t) + g (t - 3) + g (t - 6) + g (t - 9) + \dots = \sum_{k = 0}^{\infty} g (t - 3 k) \end{array}$

o que implica

f (t) = \sum_{k = 0}^{\infty} g (t - 3 k) = \sum_{k = 0}^{\infty} [u (t - 1 - 3 k) (t - 1 - 3 k) + u (t - 2 - 3 k) (4 - 2 t + 6 k) + u (t - 3 - 3 k) (2 t - 4 - 6 k)]

(6.36)

O gráﬁco desta função é apresentado na ﬁgura 6.7.

Figura 6.7:

6.3.2 Transformada de Laplace de funções envolvendo expansão em séries de potências

Nesta seção, vamos calcular a transformada de Laplace usando a série de potências das funções e a linearidade da transformada.

Exemplo 6.3.3. Vamos calcular $L {J_{0} (a t)}$ (item 31 da tabela A.2), onde $J_{0} (a t)$ é a função de Bessel de ordem zero dada por

J_{0} (a t) = 1 - {(\frac{a t}{2})}^{2} + \frac{1}{{(2!)}^{2}} {(\frac{a t}{2})}^{4} - \frac{1}{{(3!)}^{2}} {(\frac{a t}{2})}^{6} + \dots .

(6.37)

Aplicando o item 3 da tabela A.1, temos: $\begin{array}{rcl} L \{J_{0} (a t)\} & = & L \{1\} - {(\frac{a}{2})}^{2} L \{t^{2}\} + \frac{1}{{(2!)}^{2}} {(\frac{a}{2})}^{4} L \{t^{4}\} - \frac{1}{{(3!)}^{2}} {(\frac{a}{2})}^{6} L \{t^{6}\} + \dots \\ = & \frac{1}{s} - {(\frac{a}{2})}^{2} \frac{2!}{s^{3}} + \frac{1}{{(2!)}^{2}} {(\frac{a}{2})}^{4} \frac{4!}{s^{5}} - \frac{1}{{(3!)}^{2}} {(\frac{a}{2})}^{6} \frac{6!}{s^{7}} + \dots \\ = & \frac{1}{s} [1 - \frac{1}{2} {(\frac{a}{s})}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2!} {(\frac{a}{s})}^{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3!} {(\frac{a}{s})}^{6} + \dots] \end{array}$

A série acima está apresentada no item 10 da tabela A.4, onde usamos $m = - \frac{1}{2}$ e $x = {(\frac{a}{s})}^{2}$ . Logo, $\begin{array}{rcl} L \{J_{0} (a t)\} & = & \frac{1}{s} {(1 + {(\frac{a}{s})}^{2})}^{- \frac{1}{2}} \end{array}$

Exemplo 6.3.4. Novamente usamos séries de potências para calcular $L {J_{0} (2 \sqrt{k t})}$ , $k > 0$ (item 34 da tabela A.2). Aplicando o item 3 da tabela A.1, temos: $\begin{array}{rcl} L \{J_{0} (2 \sqrt{k t})\} & = & L \{1 - {(\frac{2 \sqrt{k t}}{2})}^{2} + \frac{1}{{(2!)}^{2}} {(\frac{2 \sqrt{k t}}{2})}^{4} - \frac{1}{{(3!)}^{2}} {(\frac{2 \sqrt{k t}}{2})}^{6} + \dots\} \\ = & L \{1\} - k L \{t\} + \frac{k^{2}}{{(2!)}^{2}} L \{t^{2}\} - \frac{k^{3}}{{(3!)}^{2}} L \{t^{3}\} + \dots \\ = & \frac{1}{s} - \frac{k}{s^{2}} + \frac{k^{2}}{{(2!)}^{2}} \frac{2!}{s^{3}} - \frac{k^{3}}{{(3!)}^{2}} \frac{3!}{s^{4}} + \dots \\ = & \frac{1}{s} [1 - {(\frac{k}{s})}^{1} + \frac{1}{2!} {(\frac{k}{s})}^{2} - \frac{1}{3!} {(\frac{k}{s})}^{3} + \dots] \\ = & \frac{1}{s} [1 + {(- \frac{k}{s})}^{1} + \frac{1}{2!} {(- \frac{k}{s})}^{2} + \frac{1}{3!} {(- \frac{k}{s})}^{3} + \dots] \end{array}$

A série acima está apresentada no item 3 da tabela A.4, onde usamos $x = - \frac{k}{s}$ . Logo, $\begin{array}{rcl} L \{J_{0} (2 \sqrt{k t})\} & = & \frac{1}{s} e^{- \frac{k}{s}} \end{array}$

Exercícios

E 6.3.1. Use o método das séries de potência e as propriedades da função $Γ$ para mostrar que

L \{\frac{\cos (2 \sqrt{t})}{\sqrt{t}}\} = \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{s}} e^{- \frac{1}{s}} .

(6.38)

E 6.3.2. Use o método das séries de potências para mostrar que

L {sen \sqrt{t}} = \frac{\sqrt{π} e^{- 1 ∕ 4 s}}{2 s^{3 ∕ 2}} .

Sugestão: Use que

Γ (n + \frac{3}{2}) = \frac{(2 n + 1)!}{n! 2^{2 n + 1}} \sqrt{π} .

Resposta.

\begin{array}{rcl} f (t) & = & sen \sqrt{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{t^{(2 n + 1) ∕ 2}}{(2 n + 1)!} \\ F (s) & = & L \{f (t)\} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} L \{t^{(2 n + 1) ∕ 2}\} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} L \{t^{(2 n + 1) ∕ 2}\} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} Γ ((2 n + 3) ∕ 2) \frac{1}{s^{(2 n + 3) ∕ 2}} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} \frac{(2 n + 1)!}{n!} \frac{\sqrt{π}}{2^{2 n + 1}} \frac{1}{s^{(2 n + 3) ∕ 2}} \\ = & \frac{\sqrt{π}}{2 s^{3 ∕ 2}} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{1}{n!} \frac{1}{2^{2 n}} \frac{1}{s^{n}} \\ = & \frac{\sqrt{π}}{2 s^{3 ∕ 2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- \frac{1}{4 s})}^{n} \\ = & \frac{\sqrt{π}}{2 s^{3 ∕ 2}} e^{- \frac{1}{4 s}} \end{array}

Para mostrar a identidade $Γ (n + \frac{3}{2}) = \frac{(2 n + 1)!}{n! 2^{2 n + 1}} \sqrt{π}$ , usamos a relação de recorrência

Γ (x + 1) = x Γ (x)

(6.39)

e o fato bem conhecido de que

Γ (1 ∕ 2) = \sqrt{π}

(6.40)

Para obter $\begin{array}{rcl} Γ (3 ∕ 2) & = & Γ (1 + 1 ∕ 2) = \frac{1}{2} Γ (1 ∕ 2) = \frac{\sqrt{π}}{2} \\ Γ (5 ∕ 2) & = & Γ (1 + 3 ∕ 2) = \frac{3}{2} Γ (3 ∕ 2) = \frac{3 \sqrt{π}}{2^{2}} \\ Γ (7 ∕ 2) & = & Γ (1 + 5 ∕ 2) = \frac{5}{2} Γ (5 ∕ 2) = \frac{5 \cdot 3 \sqrt{π}}{2^{3}} \\ Γ (9 ∕ 2) & = & Γ (1 + 7 ∕ 2) = \frac{7}{2} Γ (7 ∕ 2) = \frac{7 \cdot 5 \cdot 3 \sqrt{π}}{2^{4}} \end{array}$

E generalizando, temos: $\begin{array}{rcl} Γ (\frac{2 n + 1}{2}) & = & Γ (1 + \frac{2 n - 1}{2}) = \frac{2 n - 1}{2} Γ (\frac{2 n - 1}{2}) = (2 n - 1) (2 n - 3) \dots 3 \frac{\sqrt{π}}{2^{n}} \\ = & \frac{(2 n - 1) (2 n - 2) (2 n - 3) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 n - 2) (2 n - 4) \dots 2} \frac{\sqrt{π}}{2^{n}} \\ = & \frac{(2 n - 1) (2 n - 2) (2 n - 3) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}{2^{n - 1} (n - 1) (n - 2) \dots 1} \frac{\sqrt{π}}{2^{n}} \\ = & \frac{(2 n - 1)!}{(n - 1)!} \frac{\sqrt{π}}{2^{2 n - 1}} \end{array}$

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 26/7/2022 às 15:19:21.

Recursos

Projeto

IME - UFRGS
- Página do IME
- Página da UFRGS

UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Contato: reamat@ufrgs.br.

Informe erros ou edite você mesmo!