2.3 A transformada inversa de Laplace

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Se $F\left(s\right)=\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}$é a transformada de Laplace de $f\left(t\right)$, então dizemos que $f\left(t\right)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{F\left(s\right)\right\}$ é a transformada inversa de Laplace da função $F\left(s\right)$. Essa definição só faz sentido se a transformação definida no conjunto de funções que possuem transformada de Laplace for "bijetora", ou seja, cada função $f\left(t\right)$ está relacionada a uma única transformada $F\left(s\right)$. É fácil observar que duas funções iguais a partir de $t=0$ possuem a mesma transformada de Laplace. Porém, se duas transformadas são iguais para $s>s_0$, por exemplo, $F\left(s\right)=G\left(s\right)$, então

$${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt={\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }g\left(t\right)e^{-st}dt$$

(2.17)

ou seja,

$${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(f\left(t\right)-g\left(t\right)\right)e^{-st}dt=0$$

(2.18)

para cada $s>s_0$. Mas, o fato dessa integral ser nula, não significa que a função $f\left(t\right)-g\left(t\right)$ é nula. Tome como exemplo a função

$$h\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,\hfill & 0\le t<3,\hfill \\ 1,\hfill & t=3,\hfill \\ 0,\hfill & t>3,\hfill \end{array}\right.$$

(2.19)

que não é nula, mas a integral

$${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }h\left(t\right)e^{-st}dt=0\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->s>s_0.$$

(2.20)

No entanto, a função $f\left(t\right)-g\left(t\right)$ não pode ser diferente de zero em um conjunto muito grande. Basta tomar como exemplo uma função que não se anula em um intervalo pequeno:

$$h\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,\hfill & 0\le t<𝜖,\hfill \\ 0,\hfill & t\ge 𝜖\hfill \end{array}\right.$$

(2.21)

para $0<𝜖<<1$. Por menor que seja $𝜖$, a integral (2.20) não se anula para $s>0$. Existe um conceito que diz que duas funções $h_1\left(t\right)$ e $h_2\left(t\right)$ são iguais quase-sempre em $\left[a,b\right]$ se

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^b|h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)|dt=0.$$

(2.22)

Observe que o módulo no conceito é importante, pois podemos tomar uma função diferente de zero em intervalos grandes e com integral zero, por exemplo,

$$h_3\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,\hfill & 0\le t<1,\hfill \\ -1,\hfill & 1\le t<2,\hfill \\ 0,\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}\right..$$

(2.23)

Observe que a integral (2.20) deverá ser zero para todo $s>s_0$, o que compensa a falta do módulo. Por exemplo, a integral (2.20) aplicada a função (2.23) não é zero: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{h}_3\left(t\right)e^{-st}dt& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{𝜖}{e}^{-st}dt-{\int \; <!--nolimits-->}_{𝜖}^{2𝜖}{e}^{-st}dt& \\ & =& {\left.\frac{e^{-st}}{-s}\right|}_0^{𝜖}-{\left.\frac{e^{-st}}{-s}\right|}_{𝜖}^{2𝜖}& \\ & =& \frac{1}{s}-\frac{e^{-s𝜖}}{s}-\frac{e^{-s𝜖}}{s}+\frac{e^{-2s𝜖}}{s}\ne 0,s>0.& \end{array}$$

Usando esse conceito, se duas transformadas de Laplace são iguais, as respectivas inversas são iguais quase-sempre. Nesse sentido, uma função que possui transformada de Laplace está contida numa classe de funções que possuem a mesma transformada de Laplace. Se olharmos cada classe de funções como um elemento de um conjunto, então a transformada de Laplace é "bijetora". Isso significa que a transformada inversa está bem definida, mesmo que não escrevemos uma forma integral fechada para ela. Uma forma integral fechada para a transformada inversa de Laplace aparecerá naturalmente na teoria de transformada de Fourier. Aqui temos a tabela 2.1 das transformadas de Laplace que calculamos na seção 2.1 e suas respectivas inversas. Observe que cada função da segunda coluna representa uma classe de funções iguais quase-sempre. As tabelas A.1 e A.2 do apêndice A.1 estão mais completas. As tabelas de transformadas são úteis quando estamos resolvendo uma equação diferencial, pois na prática, consultamos uma tabela para calcular a inversa.

Exercícios

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