Exemplo 10.5.1. Resolva o problema de valor inicial de segunda ordem dado por $$\begin{array}{rcll}{y}^{″}+y^{\prime }+y& =& cos\left(t\right),& \text{(10.94)}\\ y\left(0\right)& =& 1,& \text{(10.95)}\\ y^{\prime }\left(0\right)& =& 0,& \text{(10.96)}\end{array}$$

A fim de transformar a equação diferencial dada em um sistema de equações de primeira ordem, introduzimos a substituição $w=y^{\prime }$, de forma que obteremos o sistema: $$\begin{array}{rcll}{y}^{\prime }& =& w& \text{(10.97)}\\ w^{\prime }& =& -w-y+cos\left(t\right)& \text{(10.98)}\\ y\left(0\right)& =& 1& \text{(10.99)}\\ w\left(0\right)& =& 0& \text{(10.100)}\end{array}$$

Este sistema pode ser resolvido usando as técnicas da Seção 10.4.

ER 10.5.1. Considere o seguinte sistema envolvendo uma equação de segunda ordem e uma de primeira ordem: $$\begin{array}{rcll}{x}^{″}\left(t\right)-\left(1-0,1z\left(t\right)\right)x^{\prime }\left(t\right)+x\left(t\right)& =& 0& \text{(10.101)}\\ 10z^{\prime }\left(t\right)+z\left(t\right)& =& x{\left(t\right)}^2& \text{(10.102)}\end{array}$$

sujeito a condições iniciais dadas por: $$\begin{array}{rcll}x\left(0\right)& =& 3& \text{(10.103)}\\ x^{\prime }\left(0\right)& =& 0& \text{(10.104)}\\ z\left(0\right)& =& 10& \text{(10.105)}\\ & & & \text{(10.106)}\end{array}$$

Rescreva este sistema como um sistema de três equações de primeira ordem.

E 10.5.1. Resolva o problema de valor inicial dado por $$\begin{array}{rcll}{x}^{\prime }& =& -2x+\sqrt{y}& \text{(10.115)}\\ y^{\prime }& =& x-y& \text{(10.116)}\\ x\left(0\right)& =& 0& \text{(10.117)}\\ y\left(0\right)& =& 2& \text{(10.118)}\\ & & & \text{(10.119)}\end{array}$$

com passo $h=2\cdot 10^{-1}$ $h=2\cdot 10^{-2}$, $h=2\cdot 10^{-3}$ e $h=2\cdot 10^{-4}$ para obter aproximações para $x\left(2\right)$ e $y\left(2\right)$.

E 10.5.2. Considere o problema de segunda order dado por: $$\begin{array}{rcll}{x}^{″}\left(t\right)+x^{\prime }\left(t\right)+sen\left(x\left(t\right)\right)=1,& & & \text{(10.120)}\end{array}$$

sujeito às condições iniciais dadas por: $$\begin{array}{rcll}x\left(0\right)& =& 2,& \text{(10.121)}\\ x^{\prime }\left(0\right)& =& 0.& \text{(10.122)}\end{array}$$

Resolva numericamente para obter o valor de $x\left(0,5\right)$, $x\left(1\right)$, $x\left(1,5\right)$ e $x\left(2\right)$ com passo $h=10^{-2}$ e $h=10^{-3}$ via método de Euler modificado.