Estratégia preditor-corretor

Cálculo Numérico - Versão Scilab

10.13 Estratégia preditor-corretor

Esquemas implícitos como o de Adams-Moulton (Seção 10.11) e o de Runge-Kutta (Seção 10.8), embora úteis para resolver problemas rígidos (ver Seção 10.14), apresentam a dificuldade de necessitar do valor de $f (t^{(n + 1)}, u^{(n + 1)})$ para calcular o valor de $u^{(n + 1)}$ , exigindo a solução de uma equação algébrica a cada passo. Uma forma de aproximar o comportamento de um método ímplicito através de um esquema implícito consiste em aplicar a, assim chamada, estratégia preditor-corretor.

Os métodos do tipo preditor-corretor empregam um esquema explícito para predizer o valor de $u^{(n + 1)}$ e, depois, um método implícito para recalcular, isto é, corrigir $u^{(n + 1)}$ .

Exemplo 10.13.1. Considere o método de Euler implícito (ver 10.8.1) aplicado para resolver o problema de valor inicial $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = & f (t, u (t)) & (10.348) \\ u (t^{(1)}) & = & a & (10.349) \end{array}$

cujo processo iterativo é dado por $\begin{array}{rcl} u^{(n + 1)} = u^{(n)} + h f (t^{(n + 1)}, u^{(n + 1)}) . & (10.350) \end{array}$

Agora aplicamos o método de Euler (ver 10.2) para predizer $u^{(n + 1)}$ : $\begin{array}{rcl} u^{(n + 1)} = u^{(n)} + h f (t^{(n)}, u^{(n)}) . & (10.351) \end{array}$

E agora, retornamos ao método de Euler implícito: $\begin{array}{rcl} u^{(n + 1)} = u^{(n)} + h f (t^{(n + 1)}, ũ^{(n + 1)}) . & (10.352) \end{array}$

Desta forma, a estratégia preditor-corretor aplicada ao método de Euler implícito com predição via método de Euler produz o método de Euler melhorado, ver 10.3, isto é: $\begin{array}{rcl} ũ^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + h f (t^{(n)}, u^{(n)}), & (10.353) \\ u^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + h f (t^{(n + 1)}, ũ^{(n + 1)}) . & (10.354) \end{array}$

Exemplo 10.13.2. Considere o método de trapezoidal (ver 10.8.2) aplicado para resolver o problema de valor inicial $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = & f (t, u (t)) & (10.355) \\ u (t^{(1)}) & = & a & (10.356) \end{array}$

cujo processo iterativo é dado por $\begin{array}{rcl} u^{(n + 1)} = u^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n)}, u^{(n)}) + f (t^{(n + 1)}, u^{(n + 1)})] . & (10.357) \end{array}$

Agora aplicamos o método de Euler (ver 10.2) para predizer $u^{(n + 1)}$ : $\begin{array}{rcl} ũ^{(n + 1)} = u^{(n)} + h f (t^{(n)}, u^{(n)}) . & (10.358) \end{array}$

E agora, retornamos ao método trapezoidal para obter: $\begin{array}{rcl} ũ^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + h f (t^{(n)}, u^{(n)}), & (10.359) \\ u^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n)}, u^{(n)}) + f (t^{(n + 1)}, ũ^{(n + 1)})] . & (10.360) \end{array}$

Exemplo 10.13.3. Considere o método de Adams-Moulton de segunda ordem (ver 10.11) aplicado para resolver o problema de valor inicial $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = & f (t, u (t)) & (10.361) \\ u (t^{(1)}) & = & a & (10.362) \end{array}$

cujo processo iterativo é dado por $\begin{array}{rcl} u^{(n + 1)} = u^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n)}, u^{(n)}) + f (t^{(n + 1)}, u^{(n + 1)})] . & (10.363) \end{array}$

Agora aplicamos o método de Adams-Bashforth de segunda ordem (ver 10.10) para predizer $u^{(n + 1)}$ : $\begin{array}{rcl} ũ^{(n + 1)} = u^{(n)} + \frac{h}{2} [- f (t^{(n - 1)}, u^{(n - 1)}) + 3 f (t^{(n)}, u^{(n)})] . & (10.364) \end{array}$

Assim, obtemos o seguinte método: $\begin{array}{rcl} ũ^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + \frac{h}{2} [- f (t^{(n - 1)}, u^{(n - 1)}) + 3 f (t^{(n)}, u^{(n)})], & (10.365) \\ u^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n)}, u^{(n)}) + f (t^{(n + 1)}, ũ^{(n + 1)})] . & (10.366) \end{array}$

10.13.1 Exercícios resolvidos

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Exercícios

E 10.13.1. Construa o esquema preditor corretor combinando Adams-Moulton de quarta ordem e Adams-Bashforth de quarta ordem.

Resposta.

\begin{array}{rcl} ũ^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + \frac{h}{24} [- 9 f (t^{(n - 3)}, u^{(n - 3)}) + 37 f (t^{(n - 2)}, u^{(n - 2)}) - 59 f (t^{(n - 1)}, u^{(n - 1)}) + 55 f (t^{(n)}, u^{(n)})], & (10.367) \\ u^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + \frac{h}{24} [f (t^{(n - 2)}, u^{(n - 2)}) - 5 f (t^{(n - 1)}, u^{(n - 1)}) + 19 f (t^{(n)}, u^{(n)}) + 9 f (t^{(n + 1)}, ũ^{(n + 1)})] . & (10.368) \end{array}

E 10.13.2. Seja o problema de valor inicial dado por: $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = & \sqrt{u (t) + 1} & (10.369) \\ u (0) & = & 0 & (10.370) \end{array}$

Resolva numericamente esse problema pelo método de Adams-Bashforth de segunda ordem e pelo método preditor corretor combinando Adams-Bashforth de segunda order com Adams-Moulton de segunda ordem. Compare a solução obtida para $t = 10$ com a solução exata dada por:

u (t) = \frac{t^{2}}{4} + t .

(10.371)

Inicialize os métodos empregando Runge-Kuta de segunda ordem.

Resposta. Adams-Bashforth: 34,99965176, Preditor-corretor: 34,99965949, Exato: 35

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