Interpolação

Cálculo Numérico - Versão Scilab

Capítulo 6
Interpolação

Neste capítulo, discutimos os problemas de interpolação. Mais precisamente, dada uma sequência de $n$ reais $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}$ , um conjunto de pontos ${\{(x_{i}, y_{i}) \in I \times ℝ\}}_{i = 1}^{n}$ , onde $I = [x_{1}, x_{n}]$ e uma família de funções $F_{I} = {φ : I \to ℝ}$ , o problema de interpolação consiste em encontrar alguma função $f \in F_{I}$ tal que

f (x_{i}) = y_{i}, i = 1, 2, \dots, n .

(6.1)

Chamamos uma tal $f$ de função interpoladora dos pontos dados. Ou ainda, dizemos que $f$ interpola os pontos dados.

Figura 6.1: Exemplo de interpolação de dois pontos por uma reta, veja o Exemplo 6.0.1.

Exemplo 6.0.1. Um dos problemas de interpolação mais simples é o de encontrar a equação da reta que passa por dois pontos dados. Por exemplo, sejam dados o conjunto de pontos ${(1, 1), (2, 2)}$ e a família de funções $F_{[1, 2]}$ :

F_{[1, 2]} = \{f : [1, 2] \to ℝ; [1, 2] ∋ x \mapsto f (x) = a + b x; a, b \in ℝ\} .

(6.2)

Para que uma $f$ na família seja a função interpoladora do conjunto de pontos dados, precisamos que

\begin{matrix} a + b x_{1} = y_{1} \\ a + b x_{2} = y_{2} \end{matrix} isto é \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2 b = 2 \end{matrix}

(6.3)

o que nos fornece $a = 0$ e $b = 1$ . Então, a função interpoladora $f$ é tal que $f (x) = x$ para um $x \in [1, 2]$ . Os pontos e a reta interpolada estão esboçados na Figura 6.1.