E 13.5.1. Implemente um código para resolver o problema do exemplo 6.6.2 usando as rotinas do gsl.

E 13.5.2. Implemente um código para resolver o problema do exercício 9.4.2 usando as rotinas do gsl.

E 13.5.3. Resolva o problema dado pela equação estacionária do transporte unidimensional com espalhamento isotrópico e condições de contorno semi-reflectivas: $$\begin{array}{llllllllll}\hfill \mu \frac{\partial I}{\partial y}+\lambda I& =\frac{\sigma }{2}{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^{1}I\left(y,\mu \right)d\mu +Q\left(y,\mu \right),& \hfill & y\in \left(0,L\right),\mu \in \left[-1,1\right],& \hfill & & \hfill & & \hfill & \\ \hfill I\left(0,\mu \right)& ={\rho }_0\left(\mu \right)I\left(0,-\mu \right)+\left(1-{\rho }_0\left(\mu \right)\right)B_0\left(\mu \right),& \hfill & \mu >0,& \hfill & & \hfill & & \hfill & \\ \hfill I\left(L,\mu \right)& ={\rho }_L\left(\mu \right)I\left(L,-\mu \right)+\left(1-{\rho }_L\left(\mu \right)\right)B_L\left(\mu \right),& \hfill & \mu <0.& \hfill & & \hfill & & \hfill & \end{array}$$

Aqui, ${\rho }_0$ e ${\rho }_L$ são índices de reflexão. Use as quadraturas de Boole e Gauss-Legendre.

Dica: Use a mesma discretização do exemplo 13.2.1 adicionado a discretização $$\begin{array}{llllllllllllll}\hfill I_{-i}^{N+1}& ={\rho }_{L_{-i}}{I}_i^{N+1}+\left(1-{\rho }_{L_{-i}}\right)B_L,& \hfill & i=1,2,...,M,& \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill & \\ \hfill I_i^1& ={\rho }_{0_i}{I}_{-i}^1+\left(1-{\rho }_{0_i}\right)B_0,& \hfill & i=1,2,...,M.& \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill & \end{array}$$

na fonteira.

E 13.5.4. Refaça os exercícios 4.4.1 e 4.4.3 usando as estruturas do gsl para vetores.

E 13.5.5. Resolva o problema do exercício 6.7.7 usando o método de Newton e as rotinas da bilbioteca gsl.

E 13.5.6. Resolva o problema do exercício 6.7.8 usando o método de diferenças finitas, o método de Newton e as rotinas da bilbioteca gsl.

E 13.5.7. Resolva numericamente o problema dado pela equação do calor evolutiva $$\begin{array}{rcll}\frac{\partial u}{\partial t}& =& \mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},0<x<1,t>0& \\ u\left(x,0\right)& =& 10e^{-x}& \\ u\left(0,t\right)& =& 1& \\ u\left(1,t\right)& =& 2& \end{array}$$

Dica: Use o método de Crank-Nicolson para a discretização temporal: $$\begin{array}{rcll}\frac{u_i^{k+1}-u_i^k}{h_t}& =& \mu \frac{u_{i+1}^{k+1}-2u_i^{k+1}+u_{i-1}^{k+1}}{2h_x^2}+\mu \frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{2h_x^2}& \\ u_i^0& =& 10e^{-x_i}& \\ u_0^k& =& 1& \\ u_N^k& =& 2,& \end{array}$$

onde

• $u_i^k\approx u\left(x_i,t_k\right)$ é uma aproximação para a solução no tempo $t_k$ e ponto $x_i$.
• $x_i$ é uma malha espacial.
• $h_t$ é incremento temporal.
• $h_x$ é o espaçamento da malha espacial.

Observe que teremos que resolver um sistema linear a cada passo de tempo: $$\begin{array}{rcll}-\frac{\mu h_t}{2h_x^2}{u}_{i+1}^{k+1}+\left(1+\frac{\mu h_t}{h_x^2}\right)u_i^{k+1}-\frac{\mu h_t}{2h_x^2}{u}_{i-1}^{k+1}& =& u_i^k+\frac{\mu h_t}{2h_x^2}\left(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k\right)& \\ u_i^0& =& 10e^{-x_i}& \\ u_0^k& =& 1& \\ u_N^k& =& 2,& \end{array}$$

E 13.5.8. Resolva numericamente o problema dado pela equação do calor evolutiva $$\begin{array}{rcll}\frac{\partial u}{\partial t}& =& \frac{\partial }{\partial x}\left(\mu \left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x}\right),0<x<1,t>0& \\ u\left(x,0\right)& =& 10e^{-x}& \\ u\left(0,t\right)& =& 1& \\ u\left(1,t\right)& =& 2& \end{array}$$

onde $\mu \left(x\right)=0.5-0.2x$. Use a seguinte discretização: $$\begin{array}{rcll}\frac{u_i^{k+1}-u_i^k}{h_t}& =& \frac{{\mu }_{i+1∕2}\left(u_{i+1}^k-u_i^k\right)-{\mu }_{i-1∕2}\left(u_i^k-u_{i-1}^k\right)}{2h_x^2}+& \\ & +& \frac{{\mu }_{i+1∕2}\left(u_{i+1}^{k+1}-u_i^{k+1}\right)-{\mu }_{i-1∕2}\left(u_i^{k+1}-u_{i-1}^{k+1}\right)}{2h_x^2}& \\ u_i^0& =& 10e^{-x_i}& \\ u_0^k& =& 1& \\ u_N^k& =& 2,& \end{array}$$

onde

• $u_i^k\approx u\left(x_i,t_k\right)$ é uma aproximação para a solução no tempo $t_k$ e ponto $x_i$.
• $x_i$ é uma malha espacial.
• $h_t$ é incremento temporal.
• $h_x$ é o espaçamento da malha espacial.
• ${\mu }_{i+1∕2}=\frac{\mu \left(x_{i+1}\right)+\mu \left(x_i\right)}{2}$ é o valor aproximado da difusão no intervalo $\left[x_i,x_{i+1}\right]$.