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Cálculo Numérico - Versão Python

Capítulo 9
Integração numérica


Neste capítulo discutiremos técnicas numéricas para aproximar integrais definidas de funções reais. Mais precisamente, considere o problema de calcular (ou aproximar) a integral de f(x) no intervalo [a,b], ou seja,

I =abf(x)dx. (9.1)


PIC

Figura 9.1: Aproximação da integral definida de uma função.


Geometricamente, I corresponde a área1 entre o gráfico de f(x) e o eixo das abscissas (eixo x). Uma maneira de aproximar I consiste em subdividir o intervalo [a,b] em n - 1 subintervalos a partir de um conjunto ordenado de pontos a = x1 < x2 < ... < xn = b. Então, temos:

I =abf(x)dx =x1x2 f(x)dx +x2x3 f(x)dx + +xn-1xn f(x)dx = i=1n-1xixi+1 f(x)dx (9.2)

Agora, supondo que o tamanho de cada cada subintervalo hi = xi+1 - xi é suficientemente pequeno, podemos aproximar f(x) no intervalo (xi,xi+1) por f(xi*) escolhendo arbitrariamente xi* [x i,xi+1]. Desta forma, temos

xixi+1 f(x)dx f(xi*)h i. (9.3)

Isto é equivalente a aproximar a área entre o gráfico de f(x) e o eixo x restrito ao intervalo [xi,xi+1] pelo retângulo de base hi e altura f(xi*) (veja Figura 9.1). Consequentemente, de (9.2) temos I = abf(x)dx = i=1n-1xixi+1 f(x)dx (9.4) I i=1n-1f(x i*)h i. (9.5)


PIC

Figura 9.2: Aproximação por retângulos.


Exemplo 9.0.1. A Figura 9.2 mostra um exemplo quando f(x) = x2 + 1, 0 x 2. Temos a aproximação por um retângulo com base h1 = 2, depois com dois retângulos de base h2 = 1 e, finalmente com quatro retângulos de bases h3 = 0,5. Os valores aproximados para a integral são dados na seguinte tabela:



02(x2 + 1)dx


h1 = 2 h1f(1) = 4
h2 = 1 h2f(0,5) + h2f(1,5) = 4,5
h3 = 0,5 4,625
h4 = 0,25 4,65625


Observe que:

02(x2 + 1)dx = x3 3 + x02 = 8 3 + 2 = 4,6666667. (9.6)

Uma tal aproximação de uma integral definida

abf(x)dx if(xi)wi, (9.7)

é chamada de quadratura numérica, onde os números xi denota seu i-ésimo ponto e wi seu i-ésimo peso. Nas próximas seções, mostraremos como obter diferentes quadraturas numéricas e discutiremos sobre suas características.

Nos códigos Python apresentados ao longo deste capítulo, assumiremos o seguinte:

>>> from __future__ import division  
>>> import numpy as np

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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